中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 3z9d!I^>k  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 VfC<WVYiZ  
科目名称：概率论基础（代码：999） e95Lo+:f  
`FDiX7M  
考生须知（允许携带计算器）： suiS&$-E  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 cyv`B3}  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 JZ*/,|1}EC  
                                              MvHm)h  
;jvBF4Lb>  
J0\Fhe0'  
lC("y' ::  
一. 填空题（25分）： xU>WEm2  
37 ,  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 X0H!/SlS  
xPk8$1meZM  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . Cc' 37~6~P  
R_ ,UMt  
3. 设随机变量X取值的概率为 [OV"}<V  
        i,E{f  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 (*nT(Adk  
y'~U%,ki6  
4. 设随机变量X的密度函数为 nE&@Q  
            EQyC1j  
则X的中位数是 . C]eSizS.  
k_q
d|  
                                                              EC6DW=  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 ox>^>wR*  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 m!4ndO;0vh  
uK#4(eY=W  
二. 选择题（25分）:
] =xE  
`H_3Uc  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . pV +|o.<C  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . HU}7zK2  
,p@y] cr  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 :q7Wy&ow  
(a) UcDS9f_87  
(b) 在定义域内单调不减; yAs>{6%-  
(c)   u\x}8pn  
(d) OwUhdiG  
wj<6kG  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   # E^1|:  
 $s c  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 3!Ij;$  
?|C2*?hZ+  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。
eRstD>r  
(a) ; };bEU wGWf  
(b) ; gA+qC7=p$  
(c) ; p* (JjH  
(d) S6M}WR^,  
                                                              n;Q7X>-f8`  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 4*#18<u5  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 J+DDh=%  
Bz-c$me1  
  @R"JW\bd  
  UiP"Ixg6  
  \?ZB]*Fu  
  "]x'PI 4J  
  PfD.:amN7  
>d*@_kJM  
e8!5I,I  
  ")5":V~fN  
  J26VnK  
   6f>{"'  
  1;8UC;,  
?V.cOR`6  
1~`fVg  
则协方差 EhvX)s  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   7wqK>Y1a  
^_W#+>&--  
^j7Vt2-  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 mb3"U"ohs  
(1) 一个学生回答“是”的概率； W:nef<WH  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ rJTa  
6]N;r5n  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 Fb>?1
i`RN  
Y %^w:|f^  
      k FD;i  
<w9JRpFY   
(1) 求常数A; ?4&e;83_#y  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; T2W eE@o  
(3) 问X与Y相互独立吗？ lU\[aNs  
h"Q8b}$^)  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 5m 4P\y^a  
    ,   .   Y=I'czg  
试求解下列问题： >Q;l(fdj  
=BAr .m+"  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； >T-u~i$s  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ C2I_%nU Z1  
$( kF#  
                                                              #q$HQ&k  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 1(R}tRR7R  
R+z2}}Z!`  
I;(L%TT `  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 &wawr2)}  
&PHTpkaam  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ |SSSH  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ T3<4B!UB&  
Q&tG4f<  
( 其中 表示标准正态分布函数) 2@
],ZLa  
cqkV9f8Ro  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 { }n^cq  
/36:ms A  
_4~+{l+  
YkSl^j[DHs  
v{4$D~I  
_jVN&\A]mC  
>]TWXmx/w  
rs[T=CQ  
1CZgb  
PC8Q"O  
>+1duAC  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页