中国科学院数学与系统科学研究院 o#=@!m
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 %8$ldNhV
科目名称：概率论基础（代码：999） W 2T6JFv
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考生须知（允许携带计算器）： w$4*/D}Y
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 "#G`F
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 $
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一. 填空题（25分）： J1g+H2
r2G38/K
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 #b wGDF
SI,
t:=D
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . (C.<H6]=
H7dT6`<~Y
3. 设随机变量X取值的概率为 p-XO4Pc 6
4~ i?xo=;v
且 n 为正整数。则数学期望 方差 o1Nfn'!3/>
}*?,&9/_)
4. 设随机变量X的密度函数为
mnL+@mm
DP r~DO`b
则X的中位数是 . ve^gzE$<I
D`R~d;U~
MFQyB+Z
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 u~
7 fK
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 mI'&!@WG
+E-CsNAZ*"
二. 选择题（25分）: :}z `4S@ b
<b:xy HS
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . "h-ZwL
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . WG*),P?
ZI.Czzx\=
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 \,ne7G21j
(a) X
o$SQ0K
(b) 在定义域内单调不减; +{0v@6<(02
(c) 8SA"
bH:
(d) n8tw8o%&[
'xLXj>
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 Qk > 9o
|DYgc$2pN
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。
&Ufp 8[
l <p(zLR
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 N\|BaZ%>|
(a) ; UA|\
D]xe
(b) ; H: S<O%f
(c) ; 3N 5@<:2`
(d) C]Y%dQh+a
@lWYc `>}
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 e_" m\e#N
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 &u~Pp=k v
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E]v?:!!ds
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Xmi~fie
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z 1]nC]2
XK\3 "`kd
则协方差 PXqG;o*Q*?
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0.
;b:'i& r
j Rd$Vt
]Vmo >
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 Y SB=n d_
(1) 一个学生回答“是”的概率； PZ`11#bbm
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ g8l6bh$}
q2s0g*z
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 %1:caa@_p
#\ `kg#&
)UM^#<-
s'oNW
(1) 求常数A; S1I.l">P
(2) 求X和Y的边缘密度函数; m./PRV1$x
(3) 问X与Y相互独立吗？ } c k <R
dzBP< Xyh
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 D%nd7
|
, . 6o7t eX
试求解下列问题： ~!5=o{wy
4l%1D. 3-O
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； KMz! 4N
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ 5.oI yC^Ik
g+4y^x(X@1
R6O v
科目名称：概率论基础 第3页 共4页 uB
a<5YDF
UUlz3" `
/ De~K+w7o
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 } P ,"
Mh4MaLw
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ |DJ8
" T]E
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ %z-*C'j5H
*k}m?;e sb
( 其中 表示标准正态分布函数) NFZ(*v1U
cQyN @W
七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 X<}}DZSu a
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
