中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 vasw@Uto)  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 |\B\IPs{%'  
科目名称：概率论基础（代码：999） aJm5`az)  
F-Z>WC{+  
考生须知（允许携带计算器）： >ptI!\i}  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 jM*wm~4>@  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 j,,#B4b  
                                              ;$a|4_U$m  
m$Tt y[0  
qyyLU@hd  
8Pom^QopK  
一. 填空题（25分）： K~L"A]+  
P)TeF1~ T  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 ]H:K$nmX  
[u3^R]  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . C~iFFh6:  
etW-gbr  
3. 设随机变量X取值的概率为 jP@t!=  
        8HO)",+I  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 (K"t</]  
'9wD+'c=A  
4. 设随机变量X的密度函数为 /|e"0
;{  
            MD:kfPQ  
则X的中位数是 . q33!X!br  
kLY9#p=X  
                                                              "ZVBn!  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 5Q72.4HH  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 _jb"@TY  
13{"sY:PT#  
二. 选择题（25分）: TAYt:  
nBiA=+'v  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . d0Kg,HB   
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . !
"J*  
1J*wW# e  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 Y=

rW.yK8  
(a) -+I! (?  
(b) 在定义域内单调不减; 7#|NQ=yd  
(c)   &FvNz  
(d) $l[*Y  
7iJk0L$]x  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   yZ)ScB^  
f,a4LF  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 s3kEux^  
}>XSp)"{l  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 >a-+7{};  
(a) ; tw3d>H`  
(b) ; ];2eIe   
(c) ; qiF~I0_
0  
(d) S+>]8ZY  
                                                             
EIEq[`h  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 9FLn7Y  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 y?@Y\ b  
d=KOV;~);  
  #f~a\}$I  
  EH "g`r  
  qtH&]Suu,  
  _TXV{<E6  
  ` U3  
ZAH<!@qh  
G([vy#p  
  zB$6e!fc  
  r"[T9  
  G!;[If:<e  
  f,a %@WT  
GKtQ>39B  
(*x"6)`  
则协方差 RM+E  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   m8PB2h  
Madaxx  
A,e^bM  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 DS2$w9!  
(1) 一个学生回答“是”的概率； @#tSx  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ n_Y]iAoc`  
sEN@q  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 K-u/q6ufK  
i=oa"^c4  
      vNSf:5H$  
b]#d04]  
(1) 求常数A; Y7)@(7G)\  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; y}HC\A77uD  
(3) 问X与Y相互独立吗？ Dg+d=I?  
"J{zfWr  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记
:
Qo  
    ,   .   k&s7-yY  
试求解下列问题： PZJ 4:h  
MjC%6%HI  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； #aX@mPm  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ ok2~B._+;  
m@u`$rOh  
                                                              rI+w1'
;C1  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页  =>\-ma+  
p30&JJ!~"  
~"2@A F
  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 PZRn6Tc  
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(1) 保险公司亏本的概率有多大？ oImgj4C2L  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ ?lN8~Ze  
)2Ru!l#  
( 其中 表示标准正态分布函数)  $YY)g$  
RL OQ>vYY  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 ]~S+nlyd<  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页