中国科学院数学与系统科学研究院 QTmMj@R&(
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 Q*W$!ZUT
科目名称：概率论基础（代码：999） MY>*F[~ 2
4%"Df1 U
考生须知（允许携带计算器）： N${Wh|__^l
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 =jD9oMs
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 ' &<saqA
rk7d7`V
/`+ubFXc
'X P
m2>$)\-;
一. 填空题（25分）： | h%0)_
,UATT]>
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 %j.
*YvveW
FC
q&-
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . V[^ +lR
~aL&,0
3. 设随机变量X取值的概率为 [t+qYe8
4Pkl()\c
且 n 为正整数。则数学期望 方差 :)j& t>aP
<Url&Z
4. 设随机变量X的密度函数为 Z,:}H6Mj9
0RGqpJxk
则X的中位数是 . UYkuz
flS_rY5
fK; I0J
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 j UCDf-_ m
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 PD`EtkUnv
<hB~|
a<#
二. 选择题（25分）: nV>=n, +s"
sHm :G_
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . Y8Z-m (OQ
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . 3 adF) mh
a{+;&j[!
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 #)z7&nD
(a) Bs';!,=
(b) 在定义域内单调不减; @i=_y+|d_
(c) Hr!%L*h?
(d)
m?]=
= 9
3S s)i7
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 an,JV0
#waK^B)<a
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 ?X3uPj9if
mJa8;X!r6
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 =
e|
(a) ; I^!c1S
(b) ; 4]m?8j)
6b
(c) ; s p &g
(d) 3 ,
nr*R!
D~r{(u~Ya
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 i$dF0.}Q
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 Lo
uYY: Q
p0@l58 1
P/ 7aj:h~P
u !9bhL`
FX o{|z3
mcLxX'c6<h
`!7QegJa"
t2#zQ[~X!
=(W l'iG
(q
g~l@rf
pb}4{]sI
J ec<1|
Su/}OS\R
n%I 9l]
avEsX_ .
则协方差 +8|r_z\A5a
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. Ng+Ge5C9
.Af H>)E
un(fr7NW
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 o! }/ &
'(
(1) 一个学生回答“是”的概率； tqT-9sEXX.
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ l527>7 eT
^9xsbv
B0
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 +d/^0^(D\5
b%M|R%)]
`%Uz0h F
wVY;)1?
(1) 求常数A; O!.mc=Gx7
(2) 求X和Y的边缘密度函数; Oky9G C.a
(3) 问X与Y相互独立吗？ a@U0s+V&a0
:h )A/k_
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 <|_b:
, . wO3K2I]>0
试求解下列问题： rkC6 -9V
NP5;&}uv*!
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； L}5IX)#gH
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ }%I)b U
(VA: `pstP
0A>Fl*
科目名称：概率论基础 第3页 共4页 [Q*aJLG
1 O]27"9
@C fxPA
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 %l8nTcL_ ?
.4-I^W"1
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ 95CCje{o _
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ J((.z
Lvz
'L0{Ed+9
( 其中 表示标准正态分布函数) :g[G&Ds8
7,N>u8cTh
七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 r` T(xJ!)
KU}HVM{
dQ4K^u
}uE8o"q
&i~AXNw
(mJqI)m8
d#9"_{P
' 1aU0<
yEfV8aY'*
&)p/cOiV
|ei?s1)
*L9s7 RR
Z Tx~+'(
*eO@<j?
~OXC 6z
$3! j1
`1Nx S35u
w\'Zcw,d
*My? l75
@aw
aN
In0kP"
| *N.SS
Mc9P(5Bf
B(mxW8y
Tv0 |e'^
,XW 6W&vR;
KLXv?4!
+0=u ]
1V?}";T
`
BH8v
2;4O f~
科目名称：概率论基础 第4页 共4页
