中国科学院数学与系统科学研究院 c!@g<<}[(
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 Q5'DV!0aSv
科目名称：概率论基础（代码：999） =8`,,= P^
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考生须知（允许携带计算器）： @;m7u
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 mq@2zE`.(
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 Ct[{>asun
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一. 填空题（25分）： )24r^21.q
(Nd5VuI
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 &i*/}OZz
wowv>!N!X-
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . U1<EAGo|
COJny/FT|
3. 设随机变量X取值的概率为 j!9p#JK#u
]c,ttS _
且 n 为正整数。则数学期望 方差 9u ";%5 4
*9((X,v@/
4. 设随机变量X的密度函数为 a[iuE`
SBo>\<@
则X的中位数是 . {Lu-!}
\NP
+$M%"=tk
24Lo .
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 NqcmjHvy
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 CHp`4
Z_{` $nW
二. 选择题（25分）: lquY_lrri
Oz{.>Pjn^o
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . F/z$jj)
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . ]O2ku^yM
pfS?:f<+6"
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 e<s56<3j
(a) '3S S%W
(b) 在定义域内单调不减; 9{bG @g
(c) %/!n
]g-
(d) S'~Zlv 3`
i1RU5IRy|j
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 tpw0j
CVu
# ;GIvfW
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 UO(B>Abp
i-oi?x<u&(
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 .`4N#EjP
(a) ; !{5jP|vo
(b) ; z^=.05jB
(c) ; qGG
(d) hYRG Ipu5
g;)xf?A9q
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 IxC/X5Mp^q
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 * yp}#\rk
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[OJ@{{U%
.m_yx{F Z=
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0JTDJZOz@#
-.ITcD g
AkdONKO8{
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AP.WTFf
\eD#s
Y ;
=y-D
<%klrQya
0 ]
e=
n
,sl|hv2U
则协方差 .Q
FGIAM
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. 5sui*WH
b*=eMc
d
g+BW~e)
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 C!xq p
(1) 一个学生回答“是”的概率； q:N"mp<%
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ 4eapR|#T
K FV&Dt}<
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 \y?
V ou/
W 0^.Dx
e#0C
<)c/PI[j
(1) 求常数A; #
JHicx\8l
(2) 求X和Y的边缘密度函数; %g7 !4
(3) 问X与Y相互独立吗？ H@0i}!U64
s,>_kxuX
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 0 /?V _
, . <+D(G H};
试求解下列问题： hMz= \)Pl
|@KW~YlE
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； `.Z Mw
A
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ Zh. 5\&bm
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 3]DUUXg$
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 FbB^$ ]*
m~"<k d
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ ^(7<L< H
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？
B|E4(,]^
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( 其中 表示标准正态分布函数) 0<"4W:
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 @{
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
