中国科学院数学与系统科学研究院 Ni GK| Z
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 l yx
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科目名称：概率论基础（代码：999） (9$/r/-a
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考生须知（允许携带计算器）： ^&DHBx"J
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 r+>E`GGQ
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 3`k 1
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一. 填空题（25分）： /%rbXrR4w
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 C_PXh>H]'
RoLUP y9U
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . *
C ~
ay'= M`uO_
3. 设随机变量X取值的概率为 (Y'rEc#H&z
,ye>D='
且 n 为正整数。则数学期望 方差 ,<|EoravH
e&7GW9FSg
4. 设随机变量X的密度函数为 H<%7aOw O2
s:R>uGYOd
则X的中位数是 . t\{ q,4
eO D;@4lR
8
:$kFy\A'
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 T!pWU*aB
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 vV#Jl)
A
(Y,
@- V
二. 选择题（25分）: E^1uZI\z
%I(N
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . # u^F B
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . (LTm!
"Q
.4_EaQ;jX
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 )f(#Fn
(a) \P }~ICZA
(b) 在定义域内单调不减; k-Jj k3
(c) 1-r1hZ-
(d) 1reJ7b0
zg)Z2?K|;u
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 ["MF -tQ5
i?qS8h{
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 2P!Pbl<
*; Hvx32I
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 EtcAU}9
(a) ; L:XnW 1(Or
(b) ; g>/,},jv[x
(c) ; (t>BO`,
(d) Iy8Ehwejd
%^2LTK(P
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 F.c,F R2
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 qg'RD]a> R
eqZ V/a
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A=I]1r
+Z/ *=
;
(}V.xi
Nm\0 >}
DJS0;!#
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0c3
Dw j!B;AZ_
/a [i:Oa#
4&r[`gL
则协方差 -= H* (M
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. f7Y0L8D
Ur6UE 2
O:I U|INq8
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 Oh3AbpTT
(1) 一个学生回答“是”的概率； n sKl3}uU
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ x_pS(O(C
>v7fR<(%s
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 twv|,kM
x$Y44v '>
VG0Ty;bV
%X7R_> .
(1) 求常数A; mFfw*,M
(2) 求X和Y的边缘密度函数; f!%G{G^`
(3) 问X与Y相互独立吗？ i8
iv{e2
ZKy)F-yX
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 d` %8qLIW
, . HK&Ul=^VN|
试求解下列问题： R % [ZQ K
i[_ (0P+Da
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； .1n=&d|
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ h1}U#XV
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8 Na.H::cZ
科目名称：概率论基础 第3页 共4页 KaVNRS
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 NSe H u k
SeuC7!q{
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ +85#`{ D
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ pK` 1pfih
*vy^=Yea
( 其中 表示标准正态分布函数) 7Qdf#D G
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 d]A.=NAc
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
