中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 } r^@Xh  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 #=/eu=  
科目名称：概率论基础（代码：999） gv$6\1  
Gs%IZo_  
考生须知（允许携带计算器）： bA\TuB  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 R< @o]p  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 T5_z^7d  
                                              .QO QqU*2I  
QA7SQ cd,  
<Ur(< WTV  
2h0I1a,7  
一. 填空题（25分）： V
3baEy>=z  
2zR*`9$  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 1L1_x'tT%  
h+F@apUS  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . cAJK FuX"  
OD<0,r0f,  
3. 设随机变量X取值的概率为 rm2"pfs  
        [Z6]$$!#2  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 c 2j?<F1  
BX$t |t;!m  
4. 设随机变量X的密度函数为 :0>wm@qCQ  
            Im%|9g;P  
则X的中位数是 . w] LN(o:  
hH:7
 
                                                              pgz3d{]ua  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 VaZ+T E  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 6'ye-}vD-  
b1{~j]"$L  
二. 选择题（25分）: L^rtypkJ  
%~P]x7 %|  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . m>2b %GTh  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . XPXC7_fV  
6u/3"A]'  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 Dr6"~5~9w  
(a) ie^:PcU  
(b) 在定义域内单调不减; @eMDRbgq;[  
(c)   JbzYr]k  
(d) _=B(jJZ  
XG<J'3  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   vIG8m@-!&;  
f2[z)j7  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 R
0+v5E  
&Th/Qv}[  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 t p$NT.z  
(a) ; 0:Js{$ZL4  
(b) ; 0*VRFd4  
(c) ; 5R4h9D5  
(d) /MTS>[E  
                                                              CU6rw+Vax  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 NI=t)[\F  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 MUz.-YRt  
a}`4BMi3  
  }txHuq1Q.  
  ih2H~c>O  
  <;#d*&]  
  t-dN: 1  
  /fA:Fnv  
/MsX w/],  
Lcplc"C  
  dGQxGt1  
  ^SxB b,\  
  xZtA
) Bp  
  8~:qn@Z|E  
Po&gr@e .V  
RmO-".$yt  
则协方差 /-E>5wU  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   |k)h' ?  
O-wR48Q  
EU ThH.  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 2{"Wa| o`  
(1) 一个学生回答“是”的概率； zdyS"H}  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ ?Z( 6..&  
z i2hi9A  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 l+kI4B7--  
|GL#E"[&'  
      5LhFD  
Y!i4P#4+q  
(1) 求常数A; PAH; +  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; |6`yE]3-(  
(3) 问X与Y相互独立吗？ azPFKg+  
M<"&$qZ$R  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 jFw?Ky2  
    ,   .   Wxb/|?,  
试求解下列问题： "J,ErnM  
m]=|%a6  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； m$*dPje  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ *<xEM-  
]^VC@$\)+  
                                                              ~7 C` a$  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 V\PGk<VO   
$}aL Fb  
KxGK`'E'r  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 |0B h  
i~n>dc YW  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ d.% Vm&3  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ op"RrZAZBT  
]5YG*sD4  
( 其中 表示标准正态分布函数) Y=x]'3}^  
Ue^upx  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 +*DXzVC  
,l#V eC  
:?U1^!$$1  
y2TJDb1  
*'QD!Tc  
A>xFNem  
4Xe3PdE  
Hp8)
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zo7Hm]W`  
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Zv kO#j  
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                                                              k-Hy> 5;  
科目名称：概率论基础                               第4页 共4页