中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 >fT%CGLC0  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 M5:*aCN6P  
科目名称：概率论基础（代码：999） "dOQ)<;  
^ )!eiM   
考生须知（允许携带计算器）： XMP4YWuVc  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 !z2xm3s{]p  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 HSU?4=Q  
                                              _tjexS'  
#< :`:@2  
-h ^MX  
rp1+K4]P  
一. 填空题（25分）： F9las#\J  
ku}`PS0UGd  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 ywyg(8>zE  
fTK84v"7_  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . |tLD^`bt  
=^ {MyR7  
3. 设随机变量X取值的概率为 p__N6a  
        [C;Neslo  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 BjTgZ98J  
H*f2fyC1\  
4. 设随机变量X的密度函数为 8s[1-l
 
            $XkO\6kh  
则X的中位数是 . bBo>Y7%  
q*a~9.i@  
                                                              MujEjD "|  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 {%y|
A{}c  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 *O[/- p&7  
}'>mT,ytgk  
二. 选择题（25分）: 9~a5R]x2  
LH`2Y,E  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . 7ju38@+  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . VUHf-bKl  
EymSrZw  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 z> DQ  
(a) F:Ps>  
(b) 在定义域内单调不减; V3a6QcG  
(c)   9zCuVUcd$.  
(d) G^dzE/:  
] Ge>S?u  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   =d:3]M ^
 
M_r[wYt!  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 oJ"D5d,  
kDM?`(r  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 l7@cov  
(a) ; $}z/BV1I  
(b) ; p1HbD`ST  
(c) ; RQ^ \|+_  
(d) V3d$C&<(  
                                                              u$(ei2f  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 /<(-lbq,  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 734n1-F?I%  
[fo#){3
K  
  Sl<1Rme=w  
  Z'}%Mkm`i}  
  :2C <;o  
  eQn[  
  ,IE.8h)H  
}:;UnE}  
R osU~OK  
  r )_*MPY  
  fk>{  
  t imY0fx#  
  Y5;afU='  
>gM"*Laa?  
(uhE'IQ{(  
则协方差 vH1,As  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   |_-w{2K  
v&WK9F\  
k_zn>aR$F  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 W3\E;C-g0  
(1) 一个学生回答“是”的概率； YPNW%N!$|  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ "+wkruC  
>w,jaQ  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 =l${
p*ABQ  
i^ |G  
      dC-~=}HR^  
sK&kp=zu  
(1) 求常数A; m.1-[2{8~  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; CYwV]lq:s  
(3) 问X与Y相互独立吗？ Tcc83_Iq  
J[hmY=,  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 .s!0S-RkC  
    ,   .   Z~8%bfpe  
试求解下列问题： qBh@^GxY),  
_;Xlw{FN^  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； { Q
_GJ  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ wQjYH!u,YZ  
!k*B-@F  
                                                              fR'!p: ~  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 ytjZ7J['{  
RLF6Bc  
F~ \ONO5  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 YlGUd~$`"+  
HR8YPU5  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ 8Q<Nl=g>'  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ CrL9|78  
3%1wQXr0  
( 其中 表示标准正态分布函数) jdu6P+_8n  
8~R.iqLoX  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 f77W{T4  
ol/@)k^s>  
)$9wKk\F  
7qO
kv1.}0  
gWa0x-  
%H"  
Oy=0Hsh@x  
f>C+l(  
9ck"JMla  
(Z?f eUxp  
qp6'n&^&  
%#v$d  
NcF>}f,}\  
-p)`ob-  
.u#Hg'oP  
R$ +RTG:E  
1 V t,5o5  
mkyYs[  
9D=X3{be#  
ri59LYy=  
<|Lz#iV37  
UV}:3c6ZX  

HP[B%  
kjV>\e  
%gFIu.c  
P(7el  
9H4"=!AAgD  
KP0(w(q  
>m1b/J3#  
WeH_1 $n5  
                                                              !BkE-9v?w  
科目名称：概率论基础                               第4页 共4页