中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 EH%j$=@X  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 V!4E(sX  
科目名称：概率论基础（代码：999） ?/g(Y  
4cL=f  
考生须知（允许携带计算器）： Z%{2/mQ  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 Iu]P^8  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 U^S0H(>  
                                              B$n\m854  
pwQ."2x  
pgarGaeq  
('Pd GV4V  
一. 填空题（25分）： 9w|q':<  
 #Ki@=*  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 $1F9TfA  
w\a#Bfcv  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . {0~ p"%*  
6C=.8eP  
3. 设随机变量X取值的概率为 ud1E@4;qf  
        HvU)GJ u b  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 !cZIoz  
iQQJ`  
4. 设随机变量X的密度函数为 Spb'jAKj'  
            p_D)=Ef
|&  
则X的中位数是 . iW)Ou?aS  
L!RLw4   
                                                              j yE+?4w;  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 CEiG
jo^  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 psBBiHB[L  
ofV{SeD67  
二. 选择题（25分）: ^[6AOz+L  
u&:jQ:[  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . +Aq}B jD#  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . <_}u5E)7(  
xK f+.6 wz  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 QCMF_;aNI  
(a) 6 [IiJhVL  
(b) 在定义域内单调不减; zB4gnVhus|  
(c)   _?8T'?-1  
(d) _nF_Rp S  
d+kI
of,  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   8Vp"}(Q  
D<:9pLD(  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 |1EM )zh6  
KpWQ;3D2  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 '<O& :  
(a) ; ;G?_^ 0  
(b) ; KQh'5o&  
(c) ; fz%u rbJR  
(d) VHy$\5oYg  
                                                              sXAXHZ{  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 Y|Z*|c.4OK  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 *
5 5yF`  
\ /o`CV{O  
  r__uPyIMG/  
  lUDzfJ}3  
  3K{'~?mM  
  3*
ZE``  
  M!,WU
[mP  
X\_ku?]v  
SH"O<cDp  
  kZeb^Q+,
 
   'y1=Z  
  )
g)X~]*  
  z@dHXj )  
?me0J3u_  
wTG6>l]H  
则协方差 HI55):Eb  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   7D<M\l8G  
4~DoqT   
@xR=bWY  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 s o1%
MV  
(1) 一个学生回答“是”的概率； dG\dGSZ\ h  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ *1|&uE&_R  
re:=fC:t5A  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 EHmw(%a|+  
XI@;;>D1=U  
      v="i0lL_  
N vY%sx,  
(1) 求常数A; 26?yEd6^Z  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; @ -)jU!  
(3) 问X与Y相互独立吗？ 0@k)Cz[0;  
r Z%
l?(  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 [7oU =  
    ,   .   jt=%oa  
试求解下列问题： _XvSe]`f`  
Y {a#2(xn  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； as6a)t.^  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ ~qekM>z  
R<}UT  
                                                              &?59{B.mD  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 SHWD@WLE4  
xA/Ein0  
;hzm&My  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 hhRUC&Y%V  
kbu.KU+  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ :Aq==N_/
2  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ ! X5n'1&  
;XAj/6pm  
( 其中 表示标准正态分布函数) II;   
H.-VfROi2  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 ,0k3Qi%  
x:dI:G  
* {TB<^ *  
{_[\k^98>  
~IQ3B$4H&  
a\_?zi]s&,  
T*p cS'?'  
+t[i68,%  
`!- w^ ~c  
$Jc>B#1  
S~GL_#a  
u/6b.hDO  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页