中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 !"o\H(siT  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 N~0ihTG5  
科目名称：概率论基础（代码：999） _%e r,Ed  
A;^ iy]"  
考生须知（允许携带计算器）： fC3T\@(&  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 ;l1.jQh  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 9 *uK]/c  
                                              lSBR(a<\y  
'<xE0
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m"-kkH{I  
m)LI| v  
一. 填空题（25分）： 7r50y>  
:<mJRsDf  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 /G|v.#2/g  
j!y9E~Zz  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . ya{`gjIlW  
fm@Pa} ,  
3. 设随机变量X取值的概率为 W~2,J4=  
        jf-XVk5q  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 )bR0>3/  
Jfk
#E^1  
4. 设随机变量X的密度函数为 vy}_aD{B  
            ;Ce?f=4  
则X的中位数是 . 4# PxJG6m  
qHp2;  
                                                              8'L:D  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 oe.Jm#?2.  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 rAAx]nQ@  
rdd-W>+  
二. 选择题（25分）: ||Owdw
|{  
Sh1$AGm  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . br Iz8]  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . 1;1;-4k7I  
['Lo8 [  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 b@&uwSv  
(a) }~|`h1JF  
(b) 在定义域内单调不减; (*P`  
(c)   
rh1PpsSc  
(d) hHTt-x#  
=DfI^$Lr:  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   zl6]N3+4  
n}F$kyI  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 LwRzzgt  
dp^PiyL  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 X4S|JT  
(a) ; [n
| }>  
(b) ; |Vqm1.1/Zv  
(c) ;
3'kKbrk [  
(d) F?R6zvive  
                                                              U ->vk{v  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 r<1W.xd":  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 4qsct@K,  
NAE|iyw  
  O4f9n  
  `Zo5!"'  
  #e-7LmO~  
  hs;|,r  
  NiVLx_<Pr'  
sq#C|v/  
_ ){u5%vv
 
  B&X)bGx8  
  C$])q`9  
  ~l'[P=R+8  
  "7+^`?  
cp8w _TPU  
CpN*1s})d  
则协方差 `O3#/1+  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   : ciwh  
iWW!'u$+I`  
Lp$&eROFVs  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 N/{=j  
(1) 一个学生回答“是”的概率； 78xiT  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ u]
;\v%b  
 nSo.,72  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 ]nIVP  
su\Lxv  
      U.^
%7.  
iN u k5  
(1) 求常数A; !_o1;GzK  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; PR7bu%Y*eD  
(3) 问X与Y相互独立吗？ 3WkrG.$[b  
&{M-<M  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 $dt* 4n'  
    ,   .   b7M)  
试求解下列问题： gY-}!9kW]  
<3
k9 y^0  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； g ?%]()E  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ czo*_q%  
S^e e<%-  
                                                               4%jSqT@  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 GV)DLHiyxX  
tN;~.\TKg  
m<4tH5};d  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 d{'u97GDc  
|2X+( F Ed  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ >Cr'dKZ}  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ -Ze2]^#dl  
6O'B:5~
[2  
( 其中 表示标准正态分布函数) LCpS}L;  
cC`PmDGq  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 R?,XSJ  
}cy<$=c#E_  
-
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页