中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 D8#q.OR]  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 RQ'c~D)X  
科目名称：概率论基础（代码：999） E0hp%:  
*h%G4M  
考生须知（允许携带计算器）： JS:lysu  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 ).S<{zm7  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 ^U?(g0<"  
                                              \O?B9_  
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一. 填空题（25分）： eEh0T%9K  
vWovR
`  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 }\{1`$*~  
%Tb|Yfyr C  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . Ft rw3OxN  
5gEfhZQ  
3. 设随机变量X取值的概率为 z{jAt6@7  
        c]r|I%D  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 kw~H%-,]  
ko>_@]Jb  
4. 设随机变量X的密度函数为 6)$N[FNs  
            n1>nnH]G  
则X的中位数是 . cZzZNGY^ts  
4Z<l>!  
                                                              Av>j+O ;  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 P/9J!.Cm  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 <xjv7`G7  
D*gVS  
二. 选择题（25分）: 
Z^6(&Rh  
U3K<@r  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . b
[;3KmUB  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . }2A1Yt:^P  
5yiiPK$qr  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 s)8M? |[`I  
(a) y]_8. 0zM  
(b) 在定义域内单调不减; hr6e1Er  
(c)   o=# [^Zv  
(d) v@uaf=x-  
Q]5^Eiq8  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   %N>NOk)  
s [F' h-y  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 ,1;8DfVZV  
G=5t5[KC  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 ^r_lj$:+$  
(a) ; [ky6E*dV`  
(b) ; Z;~[@7`  
(c) ; G0 /vn9&  
(d) c_bVF 'Bz  
                                                              iq uTT~  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 n`z+ w*  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 5Vo}G %g  
Ji:iKkI  
  .83v~{n  
  DGZY~(]  
  JD{MdhhV  
  Dp*$GQ  
  %FyygTb;S  
zYG,x*IH  
ZutB_uW  
  fEw=I7{Y  
  ;\.JV '  
  fQ36Hd?(5  
  |[37:m  
3U~lI&  
 x1BOW  
则协方差 W8,tl>(  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   8_IOJ]:w  
@v~Pwr!  
wVp4c?s  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 iTLW<wG  
(1) 一个学生回答“是”的概率； #$t}T@t>  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ ``|gcG  
J`r,_)J"2  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 =a9etF%B  
w<Yv`$-`  
      w#xeua|*I#  
z+k=|RMau  
(1) 求常数A; {Vxc6,=  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; v]:+`dV  
(3) 问X与Y相互独立吗？ l`b1%0y  
Vd%v_Ek  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 ;P;"F21^>  
    ,   .   K$GRJ  
试求解下列问题： (T|TEt  
zLsb` )!  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； X>Al:?`}N  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ }!%JYG^!D  
> -y&$1  
                                                              Xnv@H:$mxk  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 sno`=+|U]  
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1SqX:;b&  
r{\BbUnf)  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 J7BFk ?=  
oW1"%i%  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ =)I"wR"v$  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ D|d4:;7  
*Jvxs R'a1  
( 其中 表示标准正态分布函数) E *F*nd]K  
A4G,}r *n  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 d2rL 8jW  
0"EoC  

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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页