中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 {5 Kz'FT  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 b]K>vhQV  
科目名称：概率论基础（代码：999） 7sguGwg)_  
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)2  
考生须知（允许携带计算器）： \P@S"QO  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 lbofF ==(  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 V g6S/-  
                                              FoLDMx(  
~,G]glu8  
HSql)iT  
/1N)d?Pcl  
一. 填空题（25分）： 2+Vp'5>&  
q!@c_o  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 .Map   
'Dq"e$JM<  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . N&,"kRFFo  
S} O5l}E  
3. 设随机变量X取值的概率为 xT/9kM&}L  
        m9k2h
1  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 J:[3;Z  
~"\P~cg0J  
4. 设随机变量X的密度函数为 y "<JE<X  
            vo.EM1x  
则X的中位数是 . + p'\(Z(  
ve
vx|<9,  
                                                              r"6 lLc  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 ?9CIWpGjU  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 y. %i  
vDWr|M%``l  
二. 选择题（25分）: S[ i$e  
!(}OBZ[ *  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . 0;'j!`l9  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . eO~eu]r
 
vxF:vI# @  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 3KR2TcT#{  
(a) hLCsQYNDU  
(b) 在定义域内单调不减; 7ucx6J]c  
(c)   q=J9LQ  
(d) Z+OAs0}mV  
9$n+-GSK  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   "Wxo[I  
+0
pgq (  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 `4se7{'UK`  
$b&BH'*'~  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 3}v0{c  
(a) ;  >cC Gx  
(b) ; c8H9_6  
(c) ; )*"T  
(d) 3Pw%[q=g  
                                                              -Y5YCY!`  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 z7
D*z8,i  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 @&/s~3  
cg>!<T*  
  oHv{Y  
  0[_O+u  
  ahK?]:&QO  
  R (+h)#![  
  3tJ=d'U  
T)
$6H}[c  
!Qj)tS#Az  
  (,d4"C  
  `</=AY>  
  xMO[3D&D  
  nsM>%+o  
bn^mL~  
}.fZy&_  
则协方差 2ID*U d*  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   #U\&i`  
hlSB7 D"d  
llTQ\7zP  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 -52@%uB  
(1) 一个学生回答“是”的概率； |IyM"UH  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ XZUB*P}]D  
)sqp7["-  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 "Gi+zkVm  
2 yi*eR  
      L~?,6  
o}r!qL
0c  
(1) 求常数A; eE#81]'6a  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; luG023'  
(3) 问X与Y相互独立吗？ 4X(1  
?h>%Ix  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 
H$=h-  
    ,   .   0IT20.~  
试求解下列问题： Kc-A-P &Ry  
I49=ozPP  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； #C=L^cSx(  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ CwH)6uA  
g[D,\  
                                                              ] fwTi(4y  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 LzEE]i  
>m;|I/2@  
EkgN6S`}  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 8YJqM,t5)  
VW<"c 5|  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ ]>S$R&a  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ S*DBY~pZy  
EiIFVP   
( 其中 表示标准正态分布函数) {*5;:QnT  
5>z:[OdY*  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 sP8-gkkor  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页