中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 \YsYOFc|  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 #3Jn_Y%P.  
科目名称：概率论基础（代码：999） v"smmQZik  
(cqVCys  
考生须知（允许携带计算器）： {KalVZX2R  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 a(`@u&]WZ  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 .Tet
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                                              [O(8
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一. 填空题（25分）： m339Y2%=  
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 r+%}XS%;h  
J-g<-!>RM  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . BSB;0OM  
:v kTV~  
3. 设随机变量X取值的概率为 .d>TU bR;  
        rt[w yz8  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 |[}!E/7>b  
fSF b)+  
4. 设随机变量X的密度函数为 [~<X|_LG  
            69$[yt>KYz  
则X的中位数是 . o1kY|cnGH  
'=2/0-;Jf  
                                                              Bqd'2HQd  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 %`[Oz[V  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 !w8t`Z['  
RHc-kggk!  
二. 选择题（25分）: A+&^As
2  
[Cx'a7KWL  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . rVE!mi]%  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . .A. VOf_  
i0y^b5@MOb  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 M;\iL?,  
(a) ;ctJ9"_g
 
(b) 在定义域内单调不减; <n)J~B^  
(c)   69{BJ]q  
(d) .BR2pf|R  
+;P8QZK6  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   KTm^0:V[Oy  
*t JgQ[  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 NYoh6AR  
G>/Gw90E  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 ^}+qd1r  
(a) ; pu:Ie#xTDf  
(b) ; <,r|*pkhp~  
(c) ; \{Hb L,s  
(d) 7<<-\7`  
                                                              *v}8n95*2  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 hmRnr=2N  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 OR
&'  
[]'gIF  
  ! z^%$;p  
  _.9):i2<SF  
  JumZ>\'p(  
  E<j}"W$a  
  /k$h2,O"*  
\(ygdZ{R  
0Jz5i4B  
  eI+<^p_j2  
  toq/G,N Q  
  NUlp4i~Q  
  pO^PkX  
+VJS /  
:bh#,]'  
则协方差 qc(R /[  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   qO; .{f  
tx,_0[hZi  
!cLdoX  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 ~  4v  
(1) 一个学生回答“是”的概率； 4LEWOWF}  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ q*L>MV  
>@b]t,rrK  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 dRdI('  
HE;}B!>  
      L701j.7"  
9nM_LV  
(1) 求常数A; S:bY
eD4  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; Y X`BX$  
(3) 问X与Y相互独立吗？ mY1I{'.  
PBeBI:  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 sf([ 8YUd  
    ,   .   Tvd}5~ 5?  
试求解下列问题： _#UiY ffa*  
Dias!$g  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； H*m3i;"4p\  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ i,H(6NL.  
o>6c?Xi&  
                                                              43VBx<"  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 g<E[IR  
5}3#l/  
W\c1QY$E  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 yTxrbE  
AMw#_8Y  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ 5K:'VX  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ Y&XO:jB  
tEN8S]X  
( 其中 表示标准正态分布函数) aw923wEi  
:`>$B?x+  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 g kM Q=;Nn  
:R{pV7<O  
83adnm  
68UfuC  
S}b^_+UbP  
sXi~cfFaE  
*N|ak =  
2<T/N  
[v+5|twxpU  
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 Zsn@O2  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页