中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 )8a~L 8oN  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 Hus)c3Ty7  
科目名称：概率论基础（代码：999） S\CCrje  
2=*H 8'k  
考生须知（允许携带计算器）： 9)l$ aBa  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 )HEa<P^kJl  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 g_;\iqxL  
                                              6_(&6]}66  
{a =#B)6  
Sj3+l7S?  
2R[:]-b  
一. 填空题（25分）： D(~U6SR  
f[]dfLS"W  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 esJ~;~[@(r  
6,p nw  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . V.U| #n5  
n*h)'8`Ut  
3. 设随机变量X取值的概率为 
 4j*  
       
W~)}xy  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 &eJfGt5  
%[GsD9_-  
4. 设随机变量X的密度函数为 2_>N/Z4T  
            91/Q
9xY  
则X的中位数是 . (|2t# 'm  
&w\{TZ{  
                                                              G0Iw-vf  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 ~-k9%v`  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 [z:
!j$K  
b1cy$I  
二. 选择题（25分）: )+#` CIv  
IW5,
7 .  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . `>o{P/HN  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . dRYqr}!%n  
Cp\6W[2+B  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足
~g91Pr   
(a) p%ki>p )E|  
(b) 在定义域内单调不减; ,~U>'&M ;  
(c)   4Z3su^XR  
(d) "Bkfoi  
3Tcms/n  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   z^B,:5Tt  
h4gXvPS&r  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 r `=I  
sI
=xl  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 [jQp
~&
nY  
(a) ; `7E;VL^Y1  
(b) ; yZY\MB/  
(c) ; LBeF&sb6  
(d) u[;\y|75  
                                                              0D.Mke )  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 ;?Tbnn Wn  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 %6 zBSje  
RMV/&85?y  
  g{)dP!}  
  ZDJ`qJ8V  
  ^oz3F]4,g  
  2QcOR4_V  
  Pbn*
_/H  
9.M4o[  
*8 A  
  ! I:%0
D  
  !
PlEO 2at  
  [85spub&}  
  `{h*/Q  
m])y.T  
QVT5}OzMt  
则协方差 8FK/~,I  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   $rBq"u=,0+  
Lg+Ac5y}`  
 qA7>vi%  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 2zA4vZkbcw  
(1) 一个学生回答“是”的概率； ;`4&Rm9n?  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ 7nTeP(M%  
H2 \;%
K 2  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 8'[7 )
I=  
x+:UN'
"r  
      {4}yKjW%z  
XEp{VC@=  
(1) 求常数A; U$.@]F4&  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; rU:
`*b<  
(3) 问X与Y相互独立吗？ R?|.pq/Ln  
=:Fc;n>c<K  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 7>0o&  
    ,   .   }'V5/>m[  
试求解下列问题： (Z q/  
6I4\q.^qw  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； ^ogt+6c  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ iN\4gQ!  
4r#= *  
                                                              dr}`H,X"3  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 %D34/=(X  
Oc#syfO  
=`F(B  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 (,Q7@s  
81F/G5  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ yCR?UH;  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ *b}HNX|  
||= )d&  
( 其中 表示标准正态分布函数) o Q2Fjj  
5"@*?X K^  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 Su7?;Oh/yI  

&*,#5.  
)JLdO
*H  
H3^},.  
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1\~ "VF*{  
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                                                              NdA[C|_8}f  
科目名称：概率论基础                               第4页 共4页