中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 dd@qk`Zl&A  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 E9!u|&$S  
科目名称：概率论基础（代码：999） y'(l]F1]  
mx y>  
考生须知（允许携带计算器）： ^F"Q~ ?D)  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 {L$]NQdz  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 5zWxI]4d\  
                                              u[$ \ az7  
tIR"y:U+  
XbsEO>_Z'A  
jO)UK.H#  
一. 填空题（25分）： ;I1} g]  
`j{q$Y=AG  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 2| $  
i/N4uq}'A<  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . $@<qaR{t\  
<2Lcy&w_M  
3. 设随机变量X取值的概率为 |!NKKvf  
        k7yQEU  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 [H
GGXgN  
{1,]8!HBJ  
4. 设随机变量X的密度函数为 ]V\qX+K  
            l=G=J(G  
则X的中位数是 . Nn5z   
Ao~ZK[u  
                                                              a<9cj@h  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 4)./d2/E  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 \' (_r  
69AgPAv<k  
二. 选择题（25分）: N% /if  
`oQ)qa_  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . q{I,i(%m8  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . SZW+<X  
\W $bOp  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 R r7
r5  
(a) <20rxOEnf  
(b) 在定义域内单调不减; ~"F83+RDe  
(c)   ma@3BiM  
(d) Qwl=/<p1  
)vVt{g  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   A;VjMfoB  
FRa@TN/Ic  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 rrBu6\D  
dER#)bGj  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 vpR^G`/
 
(a) ; + <AD  
(b) ; q0|u vt"  
(c) ; Sj?u^L8es}  
(d) bH+x `]{A  
                                                              xszGao'  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 *=UxX ]0y  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 ie4keVlXc  
)X*?M?~\  
  `CCuwe<v  
  _-/aMfyQ  
  C'8v\C9Ag  
  m# #( uSh  
  /7WN,a  
4.]xK2sW  
*Z0Y:"  
  &0B<iO<f  
  rGb7p`J  
  {v&c5B~,\  
  
D(3\m)  
8#%Sq=/+M  
8`bQ,E+2  
则协方差 Q`$Q(/  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   LxqK@Q<B  
!'uLV#YEZ  
Y|ONCc  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 BR8W8nRb  
(1) 一个学生回答“是”的概率； ?Y6MC:l<  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ J?/.|Y]e  
>dH5n$Gb  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 g=eYl_P6  
`c 3IS5  
      EJqzh
i5  
|||uTfrJ  
(1) 求常数A;  &tb  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; $`q8-+ {  
(3) 问X与Y相互独立吗？ e|wH5(V  
T';<;6J**  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 \Ol3kx|  
    ,   .   ibDMhW$n  
试求解下列问题： /m,0H)w1  
TmS;ybsG  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； @g|Eb}t  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ wn* z*  
W":is"  
                                                              /'|'3J]HP  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 A`4Di8'Me  
3[Pa~]yS  
]a% *$TF  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 hjiU{@q  
B`Q.<Lqu  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ O[RmQ
8ll  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ # k+Ggw  
{8M=[4_`l  
( 其中 表示标准正态分布函数) Oq{&hH/'}  
oRM EC7!A0  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 & -  
ok5 {c  
bAeN>~WvY  
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L K9vvQz  

P,RCbPC4  
Egt;Bj#%  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页