中国科学院数学与系统科学研究院 3}}#'5D
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 NV
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科目名称：概率论基础（代码：999） X[XSf=
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考生须知（允许携带计算器）： zg3q\ ~
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 i n^ Rf`
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2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 %mda=%Yn
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一. 填空题（25分）： *+E9@r=HF
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 N o }Ly{
iCouGd }
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . ,UdTUw~F
xl(];&A3
3. 设随机变量X取值的概率为 !2('Cq_^
%h ? c
且 n 为正整数。则数学期望 方差 "[.adiw
ak?XE4-N
4. 设随机变量X的密度函数为 nnU
&R
6 ]@H .8+
则X的中位数是 . x. 7Ln9
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 Og`6>?>97
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 RNyw`>
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二. 选择题（25分）: mis
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uvK1gJrA)
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . Rld1pX2v
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . a
X >bC-
?~e 8:/@
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 ?qviJDD|f
(a) s@sr.'yU
(b) 在定义域内单调不减; s%nx8 "
(c) y>vr Uxgo
(d) nf5Ld"|%9
yWa-iHWC
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 G"bItdb
QvK-3w;=
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 5!r?U
TOo0rcl
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 p4;A[2Ot`:
(a) ; +B$ o 8V
(b) ; 9 ve q
(c) ; $srb!&~_>
(d) ~^QL"p :5|
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 Kd8V,teH
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 P SDzs\
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`JyTS~ v$
!uLW-[F,
R{.5Z/Vp6E
则协方差 k ;PQVF&E
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. 7q*L-Xe]k
= R|?LOEK+
O7|0t\)
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 1J<Wth{
(1) 一个学生回答“是”的概率； Xxcv 5.ug
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ #W,BUN}
i,N U%b e
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 ;o]'7qGb
%1fH-:c=C0
xoI;s}*E
0Qvbc}KP8
(1) 求常数A; Uj&2'>MJ$
(2) 求X和Y的边缘密度函数; k`Nc<nN
8
(3) 问X与Y相互独立吗？ T c t8NG
Bsi HVr
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 sh(G{Yz@
, . Q':x i;?Kt
试求解下列问题： iEr Y2~?
y&Sl#IQ L
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； UR6.zE4=_
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ S'qEBz
T{v(B["!$
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 x'_I{$C &
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 FOiwB^$ >
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(1) 保险公司亏本的概率有多大？ WGFp<R
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ ^6s
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( 其中 表示标准正态分布函数) ve[` 0
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 IiTV*azVh
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
