博士生入学数学考试大纲

博士生入学数学考试大纲
第一部分数理方程
一、线性偏微分方程的一般概念
l．了解三类典型方程及定解条件的物理意义。
2．了解定解问题的提法。
3．掌握两个自变量二阶线性偏方程的叠加原理。
4．了解两个自变量二阶线性偏方程的分类，掌握两个自变量二阶常系数双曲型偏方程的化简。
二、行波法
1．掌握无界弦的自由振动的达郎贝尔解法，理解达郎贝尔公式的物理意义。
2．会用特征线法求解两个自变量二阶常系数双曲型方程的定解问题。
3．会用延拓法来解半无界弦的齐次边条的自由振动问题。
4．会用达郎贝尔公式的物理意义求解具有齐次初始条件的半无界弦的振动自由问题。
5．掌握无界弦的强迫振动的解法——冲量法。
6．了解三维波动方程解的泊松公式。
三、分离变量法
1．理解分离变量法的思想，掌握、利用分离变量法求解有界弦的自由振动问题和有界杆的热传导问题，会用分离变量法求解园域上拉普拉斯方程第一边值问题。
2．掌握用冲量法求解有界弦的强迫振动问题和有热源有界杆的热传导问题。
3．了解边界条件齐次化方法，会用边界条件齐次化方法求解弦振动、热传导方程的非齐次边界条件问题。
四、特殊函数
1．了解贝塞尔方程、勒让德方程及其解。
2．了解贝塞尔函数、勒让德多项式的基本性质。
3．了解贝塞尔函数，勒让德多项式的正交性，会将简单函数展开成付里叶贝塞尔，付里叶勒让德级数。
4．了解贝塞尔函数勒让德多项式的应用。
五、积分变换法
1．理解付里叶变换的定义、性质。会用付里叶变换求解一些定解问题．
2．理解拉普拉斯变换的定义、性质。会用拉普拉斯变换解一些定解问题。
六、格林函数法
1．理解拉普拉斯方程基本解。
2．了解格林公式和拉普拉斯方程解的积分公式。
3．理解格林函数及其物理意义。
4．理解静电原像法，掌握用静电原像法构造几种简单区域上的拉普拉斯方程狄里克莱问题的格林函数。
参考教材
1．《数学物理方程》，谷超豪等，高等教育出版社。
2．《数学物理方程讲义》，姜礼尚，高等教育出版社。
第二部分数理统计
(△，*分别表示重点，难点)
第一章数理统计的基本概念
一、总体，样本，统计量，常用统计量。
二、抽样分布定理，正态总体的子样均值及子样方差的分布。顺序统计量的分布。
三、统计中常用的分布，即分布，t分布，F分布等的定义及其概率密度的推导*。
第二章参数估计
一、点估计
1．估计法，极大似然估计法。△
2．估计量的无偏性，有效性，相合性。△
3．贝叶斯估计。△
二、区间估计
1．单个正态总体未知参数的区间估计
2．二个独立正态总体均值差与方差比的区间估计
第三章假设检验
—、假设检验的基本概念
原假设，备择假设，检验水平，二类错误。
二、正态总体参数假设检验
1．u一检验法
2．t一检验法
3．一检验法
4．F一检验法
三、非参数假设检验
1．符号检验法
· 2．秩和检验法△
3．一检验法*
4．独立性检验。
第四章方差分析与回归分析
—、单因素方差分析△
二、双因素方差分析
三、一元线性回归
1．参数的最小二乘估计。 2．回归系数的检验。
3．预测。
四、多元线性回归
1．回归系数的最小二乘估计及其性质。 2．回归方程及系数的显著性检验。
第五章正交试验设计初步
一、正交表
1．正交表的结构。
2．因素与水平
二、正交试验设计
1．安排试验。
2．直观分析。 3．极差分析。参考教材
1．《应用数理统计》，叶慈南等，机械工业出版社，2004.8。
2．《应用数理统计》，吴翊等，国防科技大学出版社，1995.8。
3．《数理统计》，王式安，北京理工大学出版社，1995．7
第三部分线性代数
一、线性空间
考试内容：线性空间及其子空间的概念和结构，欧氏空间的概念
考试要求：
1．了解线性空间的定义和性质；
2．掌握线性空间中向量的线性相关和线性无关的概念和有关定理，理解基底，维数和坐标等概念；
3．掌握子空间的充要条件，理解子空间的交与和，直和等概念，会作相应的计算和求常用子空间的维数，基底；
4．掌握内积、正交基、正交变换等概念。
二、线性变换
考试内容：线性变换的定义和运算、线性变换的矩线、线性变换的值域和核
考试要求：
1．掌握线性变换的定义和运算规律；
2．会求线性变换在取定基底下的矩阵和同一线性变换在不同基底下的矩阵，掌握基变换和坐标变换公式；
3．理解线性变换的值域和核的概念，掌握线性变换的值域与核，线性变换的映上性、1—1性的关系：
三、相似对角化问题
考试内容：矩阵的特征值与特征向量，矩阵可对角化的条件，不变子空间，矩阵的若当(Jordan)标准形
考试要求：
1．掌握线性变换的特征值和特征向量的定义和求法；
2．掌握线性变换可对角化的条件，会求相似对角化的基；
3．了解不变子空间的概念；
4．了解Hamilton—cayley定理。
5．会求矩阵的若当标准形，会求n阶矩阵的若当标准形和变换矩阵。
四，矩阵分析
考试内容：矩阵范数，矩阵的微分和积分，矩阵分解，特征值估计
考试要求：
1．掌握矩阵范数的计算和应用；
2．掌握矩阵的序列、级数、函数及其微积分的概念和运算；
3．掌握矩阵的三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解的方法；
4．掌握矩阵的特征值的估计和表示方法
参考教材：
1．《矩阵论简明教程》（第二版），徐仲等，科学出版社。
第四部分计算方法
第一章插值法
1插值问题
1．1基本概念
1．2插值多项式的存在唯一性
2 Lagrange插值
2．1 Lagrange插值多项式
2．2插值余项表达式
3差商与Newton插值
3．1差商的定义和性质
3．2 Newton插值公式
4差分与等距节点插值
4．1差分及其性质
4．2等距节点插值公式
5 Hermite插值
6三次样条插值
6．1多项式插值的缺陷与分段插值
6．2三次样条插值函数
6．3三次条函数的构造方法
第二章曲线拟合与平方逼近
1观测数据的最小二乘拟合
1．1最小二乘问题
1．2正规方程组
2正交多项式
2．1 Chebyshev多项式
2．2一般正交多项式
3最佳平方逼近
3．I预备知识
3．2最佳平方逼近
第三章敷值积分与数值微分
1数值积分思想与代数精确度
1．1基本思想
1．2插值型求积公式
1．3代数精确度
2 Newton—Cotes公式
2．1公式导出
2．2几种低阶公式的余项
2．3复化求积法
3 Romberg算法
3．1梯形公式的递推关系
3．2 Romberg公式
4 Gauss公式
4．1基本概念
4．2 Gauss点
4．3 Gauss—Legendre公式
4．4稳定性和收敛性
4．5带�*****auss公式
5数值微分
5．1插值型求导公式
5．2三次样条插值求导
第四章常微分方程数值解法
1数值解法的思想和途径
1．1初值问题
1．2离散化方法
1．3几个基本概念
2 Runge-Kutta法
2．1基本思想
2．2四阶Runge—Kutta法
2．3步长的自动选择
3单步法的收敛性和稳定性
3．1单步法的收敛性
3．2单步法的稳定性
4线性多步法
4．1 Adams显式公式
4．2 Adams隐式公式
4．3 Adams预报一校正公式
5一阶方程组与高阶方程的数值解法
5．1一阶方程组
5．2化高阶方程为一阶方程组
6边值问题的差分解法
第五章非线性方程求根
1迭代法
1．1简单迭代法
1．2收敛问题
1．3收敛速度及加速
2 Newton迭代法
2．1 Newton迭代法公式
2．2局部收敛性
2．3 Newton下山法
2．4解非线性方程组的Newton迭代法
3弦截法
3．1单点弦截法
3．2双点弦截法
第六章线性方程直接解法
1引言
2 Gauss消去法
2．1系数矩阵为三角形的方程组
2．2 Gauss消去法
2．3列主消元法
2．4全主去消元法
3 Gauss—Jordan消去法与矩阵求逆
3．1 Gauss-Jordan消去法
3．2用Gauss-Jordan方法求逆矩阵
4解三对角方程的追赶法
5矩阵的三解分解及Gauss消去法的变形
5．1矩阵的LU分解
5．2方程组的求解
5．3平方根法
5．4改进的平方根法
6向量范数和矩阵范数
6．1向量的范数
6．2矩阵的范数
7误差分析
7．1方程组的性态和条件数
7．2精度分析
第七章解线性方程蛆的迭代法
1 Jacobi迭代和Seidel迭代法
1．1 Jacobi迭代法
1．2 Seidel迭代法
1．3迭代公式的矩阵表示
2迭代法的收敛性
2．1迭代法收敛的充要条件
2．2迭代法收敛的充分条件
2．3系数矩阵是对角占优情形
3迭代法的误差估计
4超松驰迭代(SOR)法
第八章矩阵的特征值与特征向量计算
1幂法与反幂法
1．1幂法
1．2幂法的加速
1．3反幂法
2 Jacobi方法
2．1预备知识
2．2 Jacobi方法
2．3 Jacobi过关节
主要教材及参考书
1．《数值计算原理》，李庆扬等，清华大学出版社。
2．《计算机数值方法》，李建量等，东南大学出版社。

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