中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 DjvgKy=Jr_  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 0u2uYiE-l  
科目名称：概率论基础（代码：999） );H[lKy  
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考生须知（允许携带计算器）： ~1sl.8tF  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 NI:N W-!  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 ;NeEgqW"
 
                                              tta0sJ8i  
2tm-:CPG  
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o{W] mr3D  
一. 填空题（25分）： FH`&C*/F0Y  
 WPKTX,k  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 Nj&%xe>].  
}/3pC a  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . R9G) X]  
3eP0v  
3. 设随机变量X取值的概率为 &novkkqY  
        LlY*r+Cgl1  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 ]GKx[F{)  
1?#9Kj{ql  
4. 设随机变量X的密度函数为 N@a'd0oTd  
            utJVuJw:t  
则X的中位数是 .
~<Oj XuYu  
HKN"$(Q  
                                                              ^6y4!='ci  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 q)xl$*g
 
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 - zw{<+;  
P`IG9  
二. 选择题（25分）: 6cT~irP
 
B~g05`s  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . s_Oh >y?Aq  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . X+E\]X2  
S*m`'  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 n!eqzr{  
(a) ])j|< W/  
(b) 在定义域内单调不减; u$=ogp=0  
(c)   >{qK]xj  
(d) P[GX}~_k  
Zjic"E1  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   io r [v  
H;*a:tbxO+  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 DkF2R @  
J6( RlHS;  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 P`3s\8[Q  
(a) ; ZG/8Ds  
(b) ; &e]]F#  
(c) ; 5hH6G  
(d) }L$Xb2^l  
                                                               !` M;#  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 NB W%.z  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 g#'fd/?Q  
0ve`  
  *bxJ) 9B  
  7moElh v  
  ;]&~D +XH  
  gVnw
sE  
  9o`7Kc/g  
};"+ O  
Wm$`ae   
  =CKuiO.j  
  oEQ{m5O9  
  o=-Vt,2{  
  YXX36  
f8LrDR  
dSe8vA!)  
则协方差 R81{<q'%X  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   wc7mJxJxA  
Y^f94s:2S  
JO2ZS6k[  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 fO^e+Mz  
(1) 一个学生回答“是”的概率； %@lV- (5q  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ %XP_\lu]  
*L%6qxl`V  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 #`jE%ONC  
.D
8~)ZWN  
      AT B\^;n.  
9VoDhsKk  
(1) 求常数A; M.ZEqV+
k  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; OUEI~b1  
(3) 问X与Y相互独立吗？ q2x|%HRF  
nu&_gF,{  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 _PXG AS  
    ,   .   (^sh  
试求解下列问题： };&HhBc
!g  
|@ikx{W  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； -O|&c9W.O  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ I jZ]_*^!  
TZ?Os4+  
                                                              
%1Bn_  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 _&8O~8tW  
$/u1chf  
U'tE^W  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 2Y400  
ePf+[pV3  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ OnZF6yfN=3  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ y Wp i|   
_p\6 29`  
( 其中 表示标准正态分布函数) >; aCf#q  
EQ4#fAM)  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 {vs 4vS6  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页