中国科学院数学与系统科学研究院 C[7!pd
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 1eI*.pt
科目名称：概率论基础（代码：999） l2F#^=tp
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考生须知（允许携带计算器）： $kUB%\`
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 ChiIQWFE
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 IdmP!(u
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一. 填空题（25分）： \(Ma>E4PNU
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 $%EX~$=m]-
Z_ GGH2u
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . dA<%4_WZty
-6)n QN
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3. 设随机变量X取值的概率为 %pVsafV
"]( Q2
且 n 为正整数。则数学期望 方差 lf"w/pb'
L&6^(Bn
4. 设随机变量X的密度函数为 Q0xGd(\
HS |Gz3~
则X的中位数是 . `,4yGgD!4
nc1~5eo
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 du$lS':`
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 faO iNR7;h
hTa X@=Ra
二. 选择题（25分）: lL zR5445)
{N ]WVp*R
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . 8(`e\)%l 0
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . )VQ[}iT
@7}XBg[pI
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 *
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(a) .4]XR/I $
(b) 在定义域内单调不减; z#G\D5yX[*
(c) }h`z2% 5o
(d) ft7M9<#v
TeuZVy8a
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 l!}g Wd,H
Pfs_tu
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 4U\>TFO
+76'(@(1Y
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 i ;pg9Vw
(a) ; ^/Hf$tYI!`
(b) ; t
>quY$}4
(c) ; @F 8NN\
(d) mvH}G8
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 ;Mq'+ 4$
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 r;b `@
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则协方差 Y#): 1C1
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. 6(\-aH'Ol
{|%^'lS
y+w y<[u
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 gzK/ l:
(1) 一个学生回答“是”的概率； ku57 <k b
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ _eQ-'")
b+RU <qR
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 X`L v}6}xT
Ac* )z#H
_;BN WH
R/B/|x
(1) 求常数A; U1yspHiZ
(2) 求X和Y的边缘密度函数; i5WO )9Us
(3) 问X与Y相互独立吗？ a{;+_J3S
@VND}{j
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 g
C8 deC8
, . [$>@f{:
试求解下列问题： Rc@lGq9
%"E!E1_Sv
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； #RdcSrw)W!
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ o k-q9dM
0ikA@SAq
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 RXW dqaENx
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 H?=[9?1wI5
w(M i?
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ # 5{lOeN
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ tnX W7ej ^
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( 其中 表示标准正态分布函数) 527u d^:
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 i&}LuF8
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
