中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 ^Xjh?+WM  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 fDo )~t*~  
科目名称：概率论基础（代码：999） A!}Wpw%(/  
Q>s>@hw  
考生须知（允许携带计算器）： [G{{f  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 LO8V*H(  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 :5? g<@  
                                              <6k5nEh  
)]Xj"V2  
gD0O7KO  
.{as"h-.O  
一. 填空题（25分）： aaf\%~  
F)4Y;;#  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 H:x=v4NgsU  
9j458Yd4*  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . Kx.I'_Qk  
=s"_! 7  
3. 设随机变量X取值的概率为 X 10(oT  
        A=q)kcuy5  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 GD?4/HkF  
F8S -H"  
4. 设随机变量X的密度函数为 der'<Q.U:k  
            S0C 7'H%?#  
则X的中位数是 . n2\;`9zm  
NDLk+n  
                                                              Iy8>9m'5  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 xwG=&+66  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 Ht,_<zP;  
T-pes1Wu  
二. 选择题（25分）: 5tI4m#y2  
,
w%cX {  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . -?gr3rV@  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . 7)sEW#d!  
.ky((  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 T-x1jC!B'  
(a) @D_=MtF<  
(b) 在定义域内单调不减; 8:hUj>qx  
(c)   37'@,*m`  
(d) jH26-b<  

sU"D%G  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   "5*n(S{ks  
5^lroC-(x  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 SiJ0r @  
Zp~2W JQ  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 iR j/Tm*T'  
(a) ; /rp.H'hC  
(b) ; MJ^NRT0?b  
(c) ; [9S\3&yoh  
(d) m[S6pqz  
                                                              -kY7~yS7  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 %Hdg,NH  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 J{8_4s!Xt>  
Ql8E9~h  
  bZ c&uq_  
  }}Ah-QU  
  2Wz/s 0`  
  m[&]#K6  
  m)4s4P57y  
5Gm,lNQAv  
z#*M}RR  
  :_v/a+\n  
  ]Cy1yAv={  
  +k]9n*^uz  
  hY=#_r8  
l<  8RG@  
2b+cz
 
则协方差 "'p;Udt/Qm  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   t{?UNW  
S N_!o2F2  
sl^i%xJ|l'  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 '9cShe  
(1) 一个学生回答“是”的概率； >*rsRR  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ a>A29*q  
|,CWk|G  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 ]0P-?O:  
tU7,nE>p  
      )
@)wcf!b  
f h05*]r  
(1) 求常数A; n1K"VjZk  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; ?H8w/{J   
(3) 问X与Y相互独立吗？ gaBt;@?:Q  
_YzItge*  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 FyY D7E  
    ,   .   :9H=D^J  
试求解下列问题： 0eq="|n^|  
B0I(/ 7  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； O o9 ePw7  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ CuRYtY@9  
.Ymoh>JRL  
                                                              jSVIO v:  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 >?s [g)np  
|&Gm.[IX;q  
x5\C MWW  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 ~oO>6  
<PL94  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ rn3GBWC_C  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ dH"wYMNL  
@q0\oG4L  
( 其中 表示标准正态分布函数) -Z)j"J  
?m5@ 635  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 e1a8>>b cI  
@-y.Y}k#$~  
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Wt=QCu tt  
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@jb -u S  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页