中国科学院数学与系统科学研究院 VYO O8MQI
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 4o_1F).\D
科目名称：概率论基础（代码：999） ,v/C-b)I
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考生须知（允许携带计算器）： ~V<je b
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 ~"( 1~7_
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 TYp{n Wwi
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一. 填空题（25分）： <ioX|.7ZX
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 Bk8U\Ut
M 3^p,[9r#
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . u*"tZ+|m
P0 W%30Dh
3. 设随机变量X取值的概率为 H`f kd s
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且 n 为正整数。则数学期望 方差 n32?GRp
3b|.L
Jz+
4. 设随机变量X的密度函数为 {C
7=
WS;3a}u
则X的中位数是 . ,2u]rLxx;
e& E*$G@.7
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 bMgp
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 lG q;kIQ
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二. 选择题（25分）: guBOR 0x`
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1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . enZW2o97c
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . zS.7O'I<'
N:=D@x~]
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 u K 8 r
(a) x!S8'
(b) 在定义域内单调不减; Rnj2Q!
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(c) ci ,o'`Q
(d) !1|f
, 9C
(Iu5QLE
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 *,mbZE=<
tw^V?4[Miu
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 gm4-w 9M[p
'v4AM@%u
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 Bojm lVg
(a) ; sd
Z=3)
(b) ; aNfgSo05@n
(c) ; m_oBV|v{
(d) .] 5
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 @ -g^R4e<
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 iQ~cG[6
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则协方差 ( 8k3z`
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0.
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三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 5>"-lB
&
(1) 一个学生回答“是”的概率； 592q`m \
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ (N0G[(>
KGzBK :
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 Jc:*X4-'
=)(sN"%
\"5%w *vl
8iR%?5 >K
(1) 求常数A; gey`HhZp)
(2) 求X和Y的边缘密度函数; Z#nj[r!l}
(3) 问X与Y相互独立吗？ k T!FC0E{
#*1\h=bzmW
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 , z<\ Z!+=
, . gfFP-J3cN
试求解下列问题： \HV%5 79
}"2
0:
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； ^+Ec}+ Q
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ ~;3N'o
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 t/#[At5p=
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 yv[ s)c}
w*f.Fu(su
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ KaZ$ !JfT
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ /t0 1 z~_
Wx;:_F7'\
( 其中 表示标准正态分布函数) / ~K-0K#w
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 dl6 d!Nz*
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
