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主题 : 中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础
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楼主  发表于: 2007-04-02   

中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 VYOO8MQI  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 4o_1F).\D  
科目名称:概率论基础(代码:999) ,v/C-b)I  
zx^)Qb/EL6  
考生须知(允许携带计算器): ~V<je b  
1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟。 ~"(1~7_  
2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上或草稿纸上一律无效。 TYp{nWwi  
                                              0GB6.Ggft  
H_ x35|"  
uzsR*x%s-  
wM><DrQ  
一. 填空题(25分): <ioX|.7ZX  
t.m $|M>  
1. 设袋中有N个相同的球,编号为1, …, N。现从中不放回地随机(即每次在袋里剩余球中等概率地抽取)抽取n个,则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取,则第i号球被抽中的概率为 。 Bk8U\Ut  
M 3^p,[9r#  
2. 设随机变量 相互独立,且分布函数均为 ,则   的分布函数为 . u*"tZ+|m  
P0W%30Dh  
3. 设随机变量X取值的概率为 H`fkds  
        4}gwMjU-B  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 n32?GRp  
3b|.L Jz+  
4. 设随机变量X的密度函数为 {C 7=  
            WS;3a}u  
则X的中位数是 . ,2u]rLxx;  
e&E*$G@.7  
                                                              L&l> ?"_  
科目名称:概率论基础                               第1页 共4页 bMgp  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 , 标准差是 , 则   的概率至少为 lG q;kIQ  
d8|:)7PSt  
二. 选择题(25分): guBOR 0x`  
b%AYYk)d?  
1. 设两个事件A与B相互独立,且只有A发生的概率为 ,只有B发生的概率为 ,则 . enZW2o97c  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . zS.7O'I<'  
N:=D@x~]  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 u K 8 r  
(a) x!S8'  
(b) 在定义域内单调不减; Rnj2Q! C2  
(c)   ci ,o'`Q  
(d) !1|f ,9C  
(Iu5QLE  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   *,mbZE=<  
tw^V?4[Miu  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 gm4-w 9M[p  
'v4AM@%u  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数), 则对任意的常数 c,必有 成立。 Bojm lVg  
(a) ; sd Z=3)  
(b) ; aNfgSo05@n  
(c) ; m_oBV|v{  
(d) .] 5 &\  
                                                              QT M+ WD  
科目名称:概率论基础                               第2页 共4页 @ -g^R4e<  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 iQ~cG[6  
h1J-AfV  
  90M:0SH  
  ePB=aCZ  
  ">NBPanJ  
  .b5B7 x}  
  n8J';F =P  
 6 5qH  
%5jxq9:K  
  /\h&t6B1  
  IB(5 &u.  
  4d[:{/+Q  
  i5V ly'Q  
9 bGN5.5  
znX2W0V  
则协方差 ( 8k3z`  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   P#"vlNa  
!)KX?i[Q  
<eb>/ D  
三.(20分)为了了解高校考试作弊的情况,今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题,特采用如下方案:准备两个问题,一个是“考试是否作过弊”,另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者,掷一个均匀骰子,如出现 1,2,3,4,则回答第一个问题;如出现 5,6,则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ,男生所占比例是 ,且设回答都是真实的。试求 5>"-lB &  
(1) 一个学生回答“是”的概率; 592q`m\  
(2) 如果一个学生回答“是”,则其回答的是第一个问题的可能性有多大? (N0G[(>  
KGzBK:  
四.(25分)设二维随机变量 (X, Y)的联合密度函数为 Jc:*X4-'  
=)(sN"%  
      \"5%w *vl  
8iR%?5 >K  
(1) 求常数A; gey`HhZp)  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; Z#nj[r!l}  
(3) 问X与Y相互独立吗? kT!FC0E{  
#*1\h=bzmW  
五.(20分)假设随机变量 相互独立,均服从正态分布 . 又记 ,z<\Z!+=  
    ,   .   gfFP-J3cN  
试求解下列问题: \HV%579  
}"2 0:  
(1) 求常数 c,使得 cY 服从 分布; ^+Ec}+ Q  
(2) 问 Z 服从什么分布,为什么? ~;3N'o  
aB#qzrr['8  
                                                               5! NK  
科目名称:概率论基础                               第3页 共4页 t/#[At5p=  
M~zdcVTbH  
0".pw; .}  
六. (20分)在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006,且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另,公司一年总的开支为100万元。问 yv[ s)c}  
w*f.Fu(su  
(1) 保险公司亏本的概率有多大? KaZ$!JfT  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少? /t01z~_  
Wx;:_F7'\  
( 其中 表示标准正态分布函数) /~K-0K#w  
x3MV"hm2  
七. (15分)设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ,试证 dl6d!Nz*  
r ~si:?6:  
/q ;MihK  
Z1wN+Y.CA  
}`{aeVHT  
\8'fy\  
6NVf&;laQ  
k ?X  
,)@Q,EHN;  
Vp  .($  
cP''  
y<.0+YL-e+  
I!%T!B540  
hyH"  
^z-e"  
559znM=  
++W_4 B!  
A% 9TS/-p  
rZ/,^[T  
0(iTnzx0  
RMMx6L|-:  
J@54B  
:vz_f$=  
T^x7w+  
UQgOtqL3  
(D]l/akP  
Z"<aS&GH  
W 'hE,  
Wky=]C%  
m=b~Wf39  
                                                              Nc:, [8{l  
科目名称:概率论基础                               第4页 共4页
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