中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 8Dkq+H93  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 =2@
V}  
科目名称：概率论基础（代码：999） *WfQi8  
y96 HTQ32  
考生须知（允许携带计算器）： DY\~O  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 I-^C6~  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 &grqRt  
                                              1:!H`*DU&  
F:og:[  
>f'aW  
F*T$n"^  
一. 填空题（25分）： 2ZEDyQM  
sC A  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 H?rCIS0  
Y5c[9\'\  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . 5z&>NI  
O-huC:zZh  
3. 设随机变量X取值的概率为 {&J~P&,k  
        @nAl*#M*D  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 & M:o(
T  
fejC,H4I  
4. 设随机变量X的密度函数为 }3_>  
            l
0U23i  
则X的中位数是 . 7pou(U  
4xH/a1&p=  
                                                              J;=T"C&  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 [r!f&R  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 :a^/&LbLm  
3YJ"[$w='(  
二. 选择题（25分）: )xiu \rC  
0HUylnXf0  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . QIg'js$W  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . 7WwE] ^M  
k  <5g  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 )_1 GPS  
(a) qXhdU/ =  
(b) 在定义域内单调不减; k(M:#oA!  
(c)   Rw|' LaW  
(d) x|O^#X(,  
N/ f7"~+`  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   Sg4{IU  
hf^<lJh~=  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 ;1s+1G}_z  
kY @(-  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 wYg!H>5  
(a) ; zh| 9\lf  
(b) ; 
FJ-H ;  
(c) ; 'E+"N'M|  
(d) y)U?.@  
                                                              N+h05`  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 tAF?.\x"g  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 ,zltNbu\.(  
>mai v;  
  *8WB($T}  
  LP=j/qf|  
  An$2='=/  
  xEp?|Q$  
  KWZhCS?[(  
)@X0'X<  
~/]]H;;^u  
  8.[F3Tk=  
  B* ,)
@h  
  d<6F'F^w.7  
  )](ls@*  
!:^q_q4  
<;6{R#Tuh  
则协方差 ,|{`(y/v  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   ]7O<|8n!d  
r<uc
HRO#  
+cfEyiub  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 y:W6;R  
(1) 一个学生回答“是”的概率； Zd6ik&S   
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ e @Lxduq  
6 Rl[M+Q  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 D o/R.Mgy*  
,Uz8_r  
      LE\=Y;%  
N/bOl~!y  
(1) 求常数A; h0'*)`;z  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; QQM:[1;RT  
(3) 问X与Y相互独立吗？ L"qJZU  
"bm|p/A  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 H<(F$7Q!\  
    ,   .   wq$$. .E  
试求解下列问题：   zm"  
eV[{c %wN:  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； N1a]y/  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ J~m$7T3Af  
/4
G1,T_,  
                                                              QK]P=pE'C  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 Q$E.G63Wl  
x>yqEdR=o  
r#sg5aS7O|  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 /)ZjI W"|  
(
Q*q#U  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ )|~& (+Q?]  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ n-Iz!;q  
j3Od7bBS]  
( 其中 表示标准正态分布函数) hX.cdt_?  
'Z{`P0/^o`  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 Dvg'  
&FXf]9 _X  
!j6k ]BgZ  
<Wn~s=  
[vi =^  
Hn /t'D3  
Z",0 $Gxu  
O*u   
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L4po1  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页