中国科学院数学与系统科学研究院 |KQkmc
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 !04zWYHo
科目名称：概率论基础（代码：999） E")g1xGaK
|#6)) Dh
考生须知（允许携带计算器）： RN0=jo!58
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
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2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 Qs o"jYl<
j~a"z4 0
[c=T)]E1
Cm5:_K`;]
Z1t?+v+Ro*
一. 填空题（25分）： z#!}4@_i3
m)aNuQvy:Z
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 !y{t}|U/d
<7;AK!BH
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . f;w7YO+$p9
/QeJ#EHn
3. 设随机变量X取值的概率为 ie f~*:5
uuA
q\YZy/
且 n 为正整数。则数学期望 方差 UJWkG
^?
T .57Okp
4. 设随机变量X的密度函数为 .%'$3=/oe
Zs s `##
则X的中位数是 . {B_pjs
HaUfTQ8
~baVS-v
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 F {g^4
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 ;hsem,C h7
!) }3[h0
二. 选择题（25分）: D_HE! fl
EAg Nu?L
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . mF?GQls`
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . dHtbl\6
P a{)@xT
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 s U/R$Nbr
(a) NiCH $+c\
(b) 在定义域内单调不减; 0x-58i0
(c) XYOPX>$T
(d) wQ4 IQ!
y~w -z4
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 JVoW*uA
WCg*TL}
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 qNLG- m,n<
lR^OS*v
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 hr+,-j
(a) ; |b@H]c;"
(b) ; \G3 P[E[
(c) ; )]=1W
(d) =9lrPQ]w
S~8w- lG!
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 QJcaOXyMS
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 5kK:1hH7
n9; z=
W -QBC-
3
"!9hcv- ;
woH B![Q,
Br}&
6z/ ct|n
UN~dzA~V
23lLo
yN
ECO4ut. d
{*=+g>R gD
YWV"I|Z
7 j>NUx=j3
y^rcUPLT
V vth,
则协方差 N= >6PLie
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. 'IorjR@ 40
W\'njN
pjC2jlwm*
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 CQf<En|1
(1) 一个学生回答“是”的概率； I)xB I~x
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ LvWl*:z
z
7[TgL7
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 4G:I VK9
?_ \t7f
[0_JS 2KE
a@|/D\C
(1) 求常数A; p !+7F\
(2) 求X和Y的边缘密度函数; qf/1a CQiP
(3) 问X与Y相互独立吗？ ]!u12^A{
.Z,3:3,]
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 FmfPi
.;1
, . oYYns%r
}{
试求解下列问题： <@ B zF0
45Z"U<I,9
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； XA
cpLj]
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ Rw]4/
0- )D`s%
'64&'.{#>r
科目名称：概率论基础 第3页 共4页 kI|Vv90l
<O`yM2/pS
; Nw .
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 0nko n3H
M`W%nvE DE
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ 5lp
L$
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ /Q7cQ2[EU
&&iZ?JteZ
( 其中 表示标准正态分布函数) 8\-Q(9q(
l2DhFt$!=
七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 P]bq9!{1
O[p;IG`
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
