中国科学院数学与系统科学研究院 ~^ ' + .
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 !,7)ZW?*8
科目名称:概率论基础(代码:999) vHPsHy7y
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考生须知(允许携带计算器): pnv)D}
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1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟。 dt<P6pK-
2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上或草稿纸上一律无效。 #iD`Bg!VXc
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一. 填空题(25分): <{eJbN p
N_0B[!B]
1. 设袋中有N个相同的球,编号为1, …, N。现从中不放回地随机(即每次在袋里剩余球中等概率地抽取)抽取n个,则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取,则第i号球被抽中的概率为 。 R&/"?&pfa
(I1^nrDP.
2. 设随机变量 相互独立,且分布函数均为 ,则 的分布函数为 . PP6gU=9[)
@_#]
7
3. 设随机变量X取值的概率为 Fcn@j#[J
Z+Fh I^
且 n 为正整数。则数学期望 方差 A;;OGJ,!\
urD{'FQf
4. 设随机变量X的密度函数为 `my\59T
#J$z0%P
则X的中位数是 . ~\O,#j`_
c#fSt}J>C
Sjmq\A88dc
科目名称:概率论基础 第1页 共4页 ]vCs9* |B
5. 设随机变量 X 的数学期望是 , 标准差是 , 则 的概率至少为 Gfle"_4m8
1=jwJv.^/
二. 选择题(25分): '"V]>)
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1. 设两个事件A与B相互独立,且只有A发生的概率为 ,只有B发生的概率为 ,则 . OL@' 1$/A
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . xHn
"D@
RWGAxq`9f
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 S^SF!k=
(a) iB{l:
(b) 在定义域内单调不减; s#(<zBZ9p#
(c) |OBZSk1jp
(d) @p9YHLxLjQ
0(|36;x
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 e[.JS6
4~0@(3
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 P)06<n1">Z
YM +4:P2
4. 设 是一随机变量, ( 是常数), 则对任意的常数 c,必有 成立。 fSm|anuKZe
(a) ; #Gu(h(Z s
(b) ; -+ Mh('K
(c) ; D{iPsH6};5
(d) ;-{'d8
TZE;$:1vx>
科目名称:概率论基础 第2页 共4页 PWN$x`h g[
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 9*xv
,Yz8
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U$6(@&P!
\yA*)X+
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oa8xuFu(n
]s^Pw>/`
Q`[J3-Q*{
则协方差 H!uq5`j0K
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. D=!5l4
s%S; 9T
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三.(20分)为了了解高校考试作弊的情况,今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题,特采用如下方案:准备两个问题,一个是“考试是否作过弊”,另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者,掷一个均匀骰子,如出现 1,2,3,4,则回答第一个问题;如出现 5,6,则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ,男生所占比例是 ,且设回答都是真实的。试求 jV|/ C
(1) 一个学生回答“是”的概率; CC{{@
(2) 如果一个学生回答“是”,则其回答的是第一个问题的可能性有多大? 6Bn%7ZBv
s_Gf7uC
四.(25分)设二维随机变量 (X, Y)的联合密度函数为 e6hfgVN
C(lGW,!
QAKA3{-(
\tZZn~ex
(1) 求常数A; " )/febBS
(2) 求X和Y的边缘密度函数; 5Ak6
q(\
(3) 问X与Y相互独立吗? Y@R9+7!
wA7^
五.(20分)假设随机变量 相互独立,均服从正态分布 . 又记 ])uhm)U@
, . 2vx1M6a)L
试求解下列问题: AWn$od`#s
V
o:Gp
(1) 求常数 c,使得 cY 服从 分布; ZT
%Q:]B+
(2) 问 Z 服从什么分布,为什么? k
1Thjt
x^P ~+(g
x4nmDEpa
科目名称:概率论基础 第3页 共4页 v\b@;H`
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六. (20分)在一家保险公司里有10000人参加保险,每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006,且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另,公司一年总的开支为100万元。问 8^|ls
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(1) 保险公司亏本的概率有多大? Z/w "zCd
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少? Ed=]RR4R
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( 其中 表示标准正态分布函数)
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七. (15分)设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ,试证 vgvJ6$#
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科目名称:概率论基础 第4页 共4页