中国科学院数学与系统科学研究院 [w+1<ou;j
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 sULsU t#
科目名称：概率论基础（代码：999） r.=.,R
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考生须知（允许携带计算器）： KWi|7z(L=
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 mFd|Jb W
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 ,bB}
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一. 填空题（25分）： ,E+\SBQS_
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 Sx X
bh fC2@
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . Rgz zbW
+9# qNk P
3. 设随机变量X取值的概率为 OA[fQH#{lX
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且 n 为正整数。则数学期望 方差 X 0LC:0+
J{n A
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4. 设随机变量X的密度函数为 @q{.
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/?}2OCq
则X的中位数是 .
d8p5a
C+E
j%8 1q
"@Qg]#]JH
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 q/qig5Ou
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 Cli:;yi&n
cPg{k}9Tvy
二. 选择题（25分）: p xW*kS
3XNk*Y[5
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . 2_)gJ_kP
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . dKa2 _|k'
Fj"/jdM
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 t~8H~%T>v
(a) o3h >)
4
(b) 在定义域内单调不减; g
oJ'z|))
(c) .-Dc%ap]
(d) buhbUmQ2
R 'fEw3^
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 V~ do6[(
jWdZ ]0m
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 %al
5 {
,RP 9v*
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 v 7%}ey[
(a) ; 6E.[F\u
(b) ; l r@w 1*
(c) ; "F4 3q8 P
(d) 08! _B\
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 8~ &=vc
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 A;o({9VH`Z
n~tb z"&
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'( g;nU<
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'f.k'2T
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OhlK;hvdB*
则协方差 t1yOAb I
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. S\Le;,5Z
o>bi~(H
>Gk<a
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求
Gv}Q/v
(1) 一个学生回答“是”的概率； *X ;ch55\
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ x'..j5
c 2fSpvz
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 78~/1-
I,HtW ),
)N6 07 Fa-
z!18Jh
(1) 求常数A; [{Q
$$aV1
(2) 求X和Y的边缘密度函数; 4VwMl)8ic
(3) 问X与Y相互独立吗？ 3 }&3{kt
MPy> < J
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 H W,v "
, . \=mL L|a
试求解下列问题： (Z[c7
bZ OCj1
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； GKSF(Tnj
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ kR^h@@'F"
JX[]u<h?
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 8>6<GdGL<n
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 hfyU} `]
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(1) 保险公司亏本的概率有多大？ JJSE@$",\
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ l 'wu-
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( 其中 表示标准正态分布函数) 1E&S{.
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 "G.X=,
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
