中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 ^
N;.cY  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 T; y>>_,  
科目名称：概率论基础（代码：999） nv%rJy*w[  
P.;aMRMR  
考生须知（允许携带计算器）： -vR5BMy=  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 XJ` ]ga  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 (SDr!!V<  
                                              (ehK?6[  
X>(TrdK_9"  
=`:K{loxq  
D!NQ~'.a=2  
一. 填空题（25分）： +HeTtFo{M  
57zSu3v4Y  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 %Yic
g6:  
t2"O  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . k*E\B@W>  
0Lc9M-Lg  
3. 设随机变量X取值的概率为 jN>{'TqW4  
        Co9QW/'i  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 V_RTI.3p  
[16cFqD  
4. 设随机变量X的密度函数为 &8>IeK{I  
            =aj/,Q]  
则X的中位数是 . Mjfx~I27  
v<OJ69J  
                                                              %K`% *D
  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 " '6;/N  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 U.XNv-M  
j>x-"9N  
二. 选择题（25分）: ZF|+W?0&%  
SWQ5fcPu  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . 8` @G;o  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . ryCI>vJz  
/yF QeE  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 !{)tSipd  
(a) \X&H;xnC5  
(b) 在定义域内单调不减; [y)`k@  
(c)   y^Kph# F"  
(d) 9}uW}yJ  
ks97k 8B  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   {h2TD P  
x-<)\L&  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 _~tEw.fM5  
`|#Qx3n%  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 iMFgmM|  
(a) ; E}_[QEY;Y  
(b) ; GbA.UM~  
(c) ; MR,R}B$  
(d) ^Q ps>A(  
                                                              |),'9  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 "+ >SJ~  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 !\#_Jw%y  
bb`':3%  
  sf|ke9-3  
  e9Pk"H Hl  
  b}wC|\s  
  ym/fFm6h  
  }%`~T>/  
Gqcz<=/  
fr}Eaa-{^  
  k@D0 {z  
  uV hCxUMQ  
  Rqy0Q8K<  
  IU]^&e9u  
P;8>5;U4-  
^*= 85iyo  
则协方差 ,prF6*g+WE  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   \[>9UC%  
5P hX"7  
j! NO|&k  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 nGf);U#K  
(1) 一个学生回答“是”的概率； $BDBN_p  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ Tv]<SI<B[  
iH2n.M "  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 l\!-2 T6Y  
{8EW)4Hf  
      w_4]xgS:  
T\# *S0^  
(1) 求常数A; *Sf-;U  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; YEx)"t8E  
(3) 问X与Y相互独立吗？ wVA|!>v  
Lj%{y.Rj  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 hc$@J}`  
    ,   .   Pe~`16f  
试求解下列问题： !sA_?2$  
X7|.T0{=x  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； 3%<C<(  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ E}Xka1 Bn  
I#FF*@oeM  
                                                              FkupO I  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 g#K'6VK{  
N<_Ko+VF  
snp v z1iS  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 QI!i  
m^\TUj  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ x@cN3
O  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ Y5!b)vke  
r<L#q)]  
( 其中 表示标准正态分布函数) ~HUZ#rUHm>  
P-JfV7(O8  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证  8R69q:  
8!h'j  
R+$8w2#  
cc>  
~j,TVY  
X#+`e+Df  
>e8JK*Blz  
{.#zHL ;  
~%q7Vmk9
 
Q59/ex  
fEu9Jk  
5&4F,v[zp  
<
~% t$:  
x|apQ6  
d7bjbJwu  
z=?0)e(H,  
y=o=1(  
rqvU8T7A  
?\yB)Nd y  
-"Gl 4)  
1e$[p[  
#DaP=k"XV  
6bL"LM`s  
q=[U}{  
5K(n3?1z)  
<jL#>L%%  
m0iV m|  
Pt3[|4L  
z`9l<Q/  
<<BQYU)Ig  
                                                              mSj76'L#  
科目名称：概率论基础                               第4页 共4页