中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 ~^ '+.  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 !,7)ZW?*8  
科目名称：概率论基础（代码：999） vHPsHy7y  
+'[*ikxD=g  
考生须知（允许携带计算器）： pnv)D} "  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 dt<P6pK-  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 #iD`Bg!VXc  
                                              {ueDwnZ  
w);Bet  
?FZ) LZM  
e]:(.Wb- 9  
一. 填空题（25分）： <{eJbNp  
N_0B[!B]  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 R&/"?&pfa  
(I1^nrDP.  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . PP6gU=9[)  
@_#] 7  
3. 设随机变量X取值的概率为 Fcn@j#[J  
        Z+FhI^  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 A;;OGJ,!\  
urD{'FQf  
4. 设随机变量X的密度函数为
`my\59T  
            #J$z0%P  
则X的中位数是 . ~\O,#j`_  
c#fSt}J>C  
                                                              Sjmq\A88dc  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 ]vCs9*
|B  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 Gfle"_4m8  
1=jwJv.^/  
二. 选择题（25分）: '"V]>)  
~2XiKY;W?  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . OL@' 1$/A  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . xHn  "D@  
RWGAxq`9f  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 S^SF!k=  
(a) 
iB{l:  
(b) 在定义域内单调不减; s#(<zBZ9p#  
(c)   |OBZSk1jp  
(d) @p9YHLxLjQ  
0(|36;x  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   e[.JS6  
4~0@(3  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 P)06<n1">Z  
YM +4:P2  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 fSm|anuKZe  
(a) ; #Gu(h(Z s  
(b) ; -+ Mh('K  
(c) ; D{iPsH6};5  
(d) ;-{'d8  
                                                              TZE;$:1vx>  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 PWN$x`h g[  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 9*xv ,Yz8  
7j
{63d`2  
  U$6(@&P!  
  \yA*)X+  
  {'q(a4  
  r[kmgPld  
  4mw Ao  
"I
^pb.3  
PQ4)k
VT  
  5^GrG|~  
  fTV}IP  
  pq<2:F:Kl  
  oa8xuFu(n  
]s^
Pw>/`  
Q`[J3-Q*{  
则协方差 H!uq5`j0K  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   D=!5l4  
s%S; 9T  
u75(\<{  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 jV|/ C  
(1) 一个学生回答“是”的概率； CC{{@  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ 6Bn%7ZBv  
s_Gf7uC  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 e6hfgVN  
C(lGW,!  
      QAKA3{-(  
\tZZn~ex  
(1) 求常数A; " )/febBS  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; 5Ak6 q(\  
(3) 问X与Y相互独立吗？ Y@R9+7!  
wA7^  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 ])uhm)U@  
    ,   .   2vx1M6a)L  
试求解下列问题： AWn$od`#s  
V o:Gp  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； ZT %Q:]B+  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ k 1Thjt  
x^P~+(g  
                                                              x4nmDEpa  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 v\
b@;H`  
eIY![..J/N  
:~{x'`czJ  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 8^|ls B}x?  
76rRF   
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ Z/w "zCd  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ Ed=]RR4R  
ohj(1jt  
( 其中 表示标准正态分布函数) [ [;vZ  
dpWBY3(7a  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 vgvJ6$#  
xD3Y-d9  
X9 oxni#  
?,0 5!]  
qe"t0w|U?  
uy^vQ/  
_yJAn\  
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3 2MdDa
 
GIGC,zP@k  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页