中国科学院数学与系统科学研究院 GpF, =:
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 yo V"?W >!
科目名称：概率论基础（代码：999） P w
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考生须知（允许携带计算器）： y)U8\
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 451C2 %y
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 C%#C|X193
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一. 填空题（25分）： 0y'34}
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 oG@P M+{
OY~5o&Oa
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . OA w/
}9P)<[>
3. 设随机变量X取值的概率为 e~rBV+ f
v}[K Vwse
且 n 为正整数。则数学期望 方差 ~`tc|Zu
RWA|%/ L
4. 设随机变量X的密度函数为 @uY%;%Pa8
aDza"Ln
则X的中位数是 . m !;mEBL{
!;CY
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pJ_Z[}d)c
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 +$},Hu69j
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 m}Tu^d y
E pM
4 +
二. 选择题（25分）: T_AZCl4d
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1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . {2Gp+&
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . |k
4+I
oF ,8j1
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 ={maCYlE.
(a) mg >oB/,'Z
(b) 在定义域内单调不减; JI\u -+BE
(c) ,u]kZ ]
(d) 4TR:bQZs
~q|^z[7
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 cW&OVNj
uF(- h~
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 E) z g, 7Y
7CG_UB
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 2N)vEUyDV
(a) ; m?B@VDZ
(b) ; U}Hmzb
(c) ; >) S
a#w;
(d)
b$gDFNa
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 OB$A"XGAEV
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 [9+M/O|Vs
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cxmr|- ^
则协方差 bTn-Pg){
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. (,<?Pg7v:f
x&?35B
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三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 r<b g->lX
(1) 一个学生回答“是”的概率； @w|~:>/g
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ & i!.6M2
[(dAv7YbN
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 vwT?B
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;>YJ}:r"\
@h $7C<
`Y'}\>.#
(1) 求常数A; UHxXa*HyI
(2) 求X和Y的边缘密度函数; sM-k,0z
(3) 问X与Y相互独立吗？ 2P]r J
$osDw1C
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 xOEj+
%M
, . EJN}$|*Av
试求解下列问题： 6rR }qV,+{
XV!P8 n
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； GV%ibqOpQj
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ ^#_@Kq% th
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 y5oiH
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 E Xo"F*gW
ky[FNgQ3n
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ wl}Q|4
rZ
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ 7eZ,;
x
Q L
( 其中 表示标准正态分布函数) OBu$T&
~kF^0-JZY
七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 |"\A5v|1
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
