中国科学院数学与系统科学研究院 rW2l +:@c
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 -l < [CI
科目名称：概率论基础（代码：999） %.s"l6 W
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考生须知（允许携带计算器）： zLjQ,Lp.I
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 J6J;
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2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 npcL<$<6X
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一. 填空题（25分）： =
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1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 $,jynRk7q
1y.!x~Pi,
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . HNV"'p;
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3. 设随机变量X取值的概率为
Mh5 =]O+
R1\$}ep^
且 n 为正整数。则数学期望 方差 {pEbi)CF,}
v,mn=Q&9
4. 设随机变量X的密度函数为 D4ud|$s1
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q~)I$
则X的中位数是 . ]39A1&af}
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科目名称：概率论基础 第1页 共4页 8(0q,7)y
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 IF.6sJg:
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二. 选择题（25分）: %-~T;_.
c G I^IPI
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . @d=4C{g%o
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . *dm?,~f%<
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2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 QyX ?
(a) C~a- R#
(b) 在定义域内单调不减; 7nL3+Pq
(c) '1yy&QU Zq
(d) hh>mX6A
#35@YMF
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 CGkCLd*s]
f,}]h~w\
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 e(m#elX
ghd*EXrF
H
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 K@z zseQ}=
(a) ;
=+j>?Yi
(b) ; yPqZ ,
(c) ; NuqWezJm&
(d) |_J[n !~f7
`Vqp o /
科目名称：概率论基础 第2页 共4页 UR&Uwa&.
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 ~rX2oLw{&
N{<=s]I%x
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&\$l%ic uo
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则协方差 hY.zwotH
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. aD~3C/?aW
c8sY#I
a r#p7N
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 r`|/qP:T[
(1) 一个学生回答“是”的概率； PX3rHKK {
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ i51~/
R
Eg?6$[U`8<
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 zQ$*!1FmN
!aD/I%X
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SLL%XF~/Sb
(1) 求常数A; < @}~Fp@
(2) 求X和Y的边缘密度函数;
c<j2wKz
(3) 问X与Y相互独立吗？ 8? 4j-
#N%xr'H
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 I=wP"(2
, . =N`"%T@=
试求解下列问题： 8/f ,B:by
,V3P.ni]
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； nsqs*$
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ lvIKL!;H
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 <k'=_mC_
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 ;BqYh
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(1) 保险公司亏本的概率有多大？ S1{UVkr
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ ~AxA ,
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( 其中 表示标准正态分布函数) I0=YIcH5
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 dJM)~A y-
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
