中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 6suc0  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 tF'67,~W  
科目名称：概率论基础（代码：999） 6tzn%
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7eO8cPy
 
考生须知（允许携带计算器）： Oe=
,-\&_  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 712i|  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 G'bp  
                                              5|/vc*m_0'  
ZWFH5#=  
7,jqA"9  
4x3`dvfp/  
一. 填空题（25分）： S}|ea2  
>SzTZ3!E  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 II2oV}7?  
i44`$ps  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 .
EUNG&U  
oDRNM^ gz  
3. 设随机变量X取值的概率为 ~jPe9  
        \ pq]q  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 fGxa~Unx  
SQHVgj  
4. 设随机变量X的密度函数为 t9=rr>8)  
            qv<VKJTi6]  
则X的中位数是 . Gh< r_O~L3  
vbWX`skU  
                                                              d9^h YS{  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 `,|7X]%b  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 e5AiIVlv  
eC3ZK"oJ  
二. 选择题（25分）: 's9)\LS>p  
m3,v&Z  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . w,P2_xk`  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . "B\qp"N  
'Kq%tM26!  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 Kg%_e9nj#  
(a) :|Z*aI]9  
(b) 在定义域内单调不减; v3[ 2!UXq  
(c)   |+[bKqI5  
(d) \:Nbl<9(9  
LsLsSV  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   o|UZdGu  
Vdjca:`  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 *%MY. #  
BO1Mz=q  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 .<tb*6rX>  
(a) ; ~UL;O\-b0  
(b) ;  ]@<O!fS  
(c) ; yDHH05Yl  
(d) `?La  
                                                              WyO10yvR  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 p^^<BjkQ  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 eE7+fMP{  
9/0<Z_b2  
  []'BrG)!  
  o8Tt|Lxb$8  
  sqsBGFeG  
  lh .p`^v  
  k|&@xEbS  
Z~v.!j0  
{Z$Aw4a"d  
  n)[{nkS6[  
  P)S
w`^d  
  3!#d&  
  =%p0rz|b  
J](AJkGzK  
Hh,q)(Wo  
则协方差 IL&Mf9m  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   l(*`,-pv:  
N<9CV!_  
IrM Ws86;  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 0)+F}SyyD  
(1) 一个学生回答“是”的概率； Il,2^54q  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ iJT_*,P^  
7gNJ}pLDx  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 }e s  
t[Qf|#g  
      ,eW K~ pa  
nd
}[X[ay  
(1) 求常数A; **N{XxdN  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; !g'kWE [  
(3) 问X与Y相互独立吗？ il|e5TD^  
[vrM,?X  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 \oA>%+]5  
    ,   .   Zi/tax9C  
试求解下列问题： *j6KQZ"  
C0(?f [/(M  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； _)XQb1]  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ B:J([@\'  
$KHw=<:)/  
                                                              z@Pv~"  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 /N'0@q  
_Wg?H:\  
>xsbXQ>.
 
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 C.4r`F$p  
Pw+PBIGn4  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ ut j7"{'k|  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ &rs
  
E.LD1Pm0  
( 其中 表示标准正态分布函数) EmG':K(  
2S,N9(7  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证  ddK\q!0  
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RD6n1Wb(@  
Y=83r]%
 
aQ.QkM Z  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页