中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 g886RhCe  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 uk=f /nT  
科目名称：概率论基础（代码：999） .&2Nm&y$K  
u/>+cT6}  
考生须知（允许携带计算器）： 0P7sMCYu  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 F\IJim-Rh  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 "B3&v%b  
                                              S&Szc0-|k  
PRQEk.C  
*iwVB^^$  
}$E341@  
一. 填空题（25分）： <2,NWn.  
ayK?\srw  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 }K'gjs/N;  
+pG[ [}/  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . L =#nnj-  
#WqpU.
  
3. 设随机变量X取值的概率为 m]D3ec\K'  
        vzH"O=  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 N.D7  
/(jG9RM  
4. 设随机变量X的密度函数为 -~=?g9fGm6  
            KMll8X  
则X的中位数是 . *-\qO.4\  
J{qsCJiB  
                                                              7
,7-E&d  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 T:=ST3#m  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 +Z=%4  
H9%[! RF  
二. 选择题（25分）: `W9~u: F  
?mn&b G  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . "[ #.  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . s8V:;$ !  
d\-v+'d*+  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 FaQz03N\  
(a) E]dc4US  
(b) 在定义域内单调不减;
'PWX19  
(c)   FxdWJ|rN9D  
(d) D5"Xjo *  
)K!!Zq3;|  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   {M ^5w  
^I:f4RWo  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 ]O&\Pn0q  
nq qqP  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 Av>xgfX  
(a) ; ~B\O{5W  
(b) ;  Aaug0X  
(c) ; ^H`4BWc  
(d) p mc)$3u  
                                                              aNUMF  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 oq9gFJG(  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 C;0VR  
Y?AvcY.  
  ]jSRO30H3<  
  i hcSSUm  
  :u`gjj$:s  
  nQ@<[KNd  
  1h3`y  
%^l&:\ hy  
d)kOW!5\  
  w ufQyT`  
  Ui'*$W]v  
  8&SWQ  
  7U:{=+oLR  
Ym?VF{e,  
N<XMSt  
则协方差 '.]<lh!  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   {7Hc00FM  
F_@?'#m  
e_}tK1XY  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 SN]Na<P  
(1) 一个学生回答“是”的概率； jB,VlL  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ &q +l5L"  
qfqL"G  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 0xH&^Ia1B  
\46*
4?pP  
      "A0y&^4B@  
+zK?1llt  
(1) 求常数A; 84coi  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; "JE->iD  
(3) 问X与Y相互独立吗？ X6=o vm  
55/)2B2J  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 izu_1X  
    ,   .   JAy-N bb
\  
试求解下列问题：
F<b/)<Bm=  
39L_O RMH  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； `VF_rC[?  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ W
M7LCP  
^oR qu  
                                                              a:;7'w
'  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 dptfIBYc+  
5s@xpWVot  
~[=d{M!$W  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 \-sW>LIA  
8#[2]1X^8  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ 9@}5FoX"  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ ^^< C9  
B>c2 *+Bk  
( 其中 表示标准正态分布函数) N`4XlD  
,L4zhhl!_  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 f:6F5G  
,3!TyQ\m'  
8l'W[6  
U.h2 (-p  
2vhP'?;K  
hj{)6dBX%  
x U"g~hT  
4iZg2"[D  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页