中国科学院数学与系统科学研究院2006硕士研究生入学考试概率论基础

中国科学院数学与系统科学研究院 $u./%JS  
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 @'EU\Y\l  
科目名称：概率论基础（代码：999） thj
CfP  
`8%2F}x}qD  
考生须知（允许携带计算器）：
~vIQ-|8r:  
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 a:tCdnK/  
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 e03q9(  
                                              QvH=<$  
'J&$L c  
d&QB?yLd  
Wo@0yF@  
一. 填空题（25分）： ;X ]+r$_  
0
;j)rm t  
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 Mg0[PbS  
tTB,eR$  
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则   的分布函数为 . c3&;Y0SD  
{re<S<j&  
3. 设随机变量X取值的概率为 3U0>Y%m|,  
        *eAsA(;  
且 n 为正整数。则数学期望   方差 e:E:"elr]  
25RFi24>D  
4. 设随机变量X的密度函数为 9"3 7va  
            Pwn3/+"%K  
则X的中位数是 . ~5[#c27E9  
-rSpgk0wL  
                                                              .mzy?! w0q  
科目名称：概率论基础                               第1页 共4页 %- W3F5NK  
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则   的概率至少为 oz(V a!  
XjL)WgQ{i  
二. 选择题（25分）: 0>?%{Xy  
X\:;A{  
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . {2EIvKu3:  
(a) ;   (b) ;   (c) ;   (d) . FA}dKE=c Q  
gJEm  
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数   一定满足 !e5!8z  
(a) * w>dT  
(b) 在定义域内单调不减; %l4LX~-:  
(c)   zO BLF|L=  
(d) o}q>oa b z  
(7l'e=J0  
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则   N?Byp&rqI<  
0x&-/qce6W  
(a) 大于;   (b) 等于;   (c) 小于; (d) 随   不同而不确定。 >/@wht4- j  
d<{>&  
4. 设   是一随机变量,   ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 eD4D<\*  
(a) ; 6'YT3=  
(b) ; u^HC1r|%  
(c) ; #NU@7Q[4  
(d) zl?Gd4  
                                                              6#[  
科目名称：概率论基础                               第2页 共4页 >Q5et1c  
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 e"7<&% Oq  
? A4zIJ\  
  uDhe )  
  -|K^!G  
  *0vq+C  
  in-|",O`Z  
  " pg5w  
JXFPN|  
0R2KI,WI  
  srzlr-J  
  Y-yozt  
  .r ,wc*SF  
  2VpKG*!\  
P
2-^j)  
6zbqv6  
则协方差 wh Hp}r  
(a)   ;   (b)   ;   (c)   ;   (d) 0.   xUW\P$  
$6[%N Qp  
6!39t  
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 _*l+ze[a  
(1) 一个学生回答“是”的概率； ! 3 ;;6  
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？
Lm-f0\(  
XE#a#  
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 uSsP'qd  
4h*c{do  
      "]SA4Ud^  
tDC?St1  
(1) 求常数A; t6q7w  
(2) 求X和Y的边缘密度函数; ya c4\%ze  
(3) 问X与Y相互独立吗？ 7|@FN7]5NF  
2%?Kc]JY9  
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 >sm~te$5  
    ,   .   R@df~  
试求解下列问题： qdPmTaak  
/$\N_`bM  
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； 6:Hd`  
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ 7VIfRN{5n  
#Zg pm"MW  
                                                              ?vBMx _0  
科目名称：概率论基础                               第3页 共4页 $jg~a  
%jo,
Gv  
)%JjV(:  
六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 h1~/zM/`  
no$X0ia  
(1) 保险公司亏本的概率有多大？ .~a.mT  
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ \nUJ)w  
W5uC5C*,l  
( 其中 表示标准正态分布函数) );/p[Fd2]  
!lL~#l:F  
七. （15分）设随机变量   中任意两个的相关系数都是 ，试证 kr\#CW0?  
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P\y ZcL  
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科目名称：概率论基础                               第4页 共4页