中国科学院数学与系统科学研究院 xA#B1qbw
2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 KP[ax2!x
科目名称：概率论基础（代码：999） I)V2cOr XM
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考生须知（允许携带计算器）： Miqu
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 gzvEy^X
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上一律无效。 P49lE
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一. 填空题（25分）： b-U LoV
S3i%7f^C?N
1. 设袋中有N个相同的球，编号为1, …, N。现从中不放回地随机（即每次在袋里剩余球中等概率地抽取）抽取n个，则第i号球被抽中的概率为 ; 如果将不放回抽取改为放回抽取，则第i号球被抽中的概率为 。 ]y@9 z b
uI@:\Rs s
2. 设随机变量 相互独立，且分布函数均为 ，则 的分布函数为 . %Y
M4x!6
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3. 设随机变量X取值的概率为 E:T<mI?d
Pon 2!
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且 n 为正整数。则数学期望 方差 N? U ;G*G
D)8&v` L S
4. 设随机变量X的密度函数为 &Hb 6
!>Db
则X的中位数是 . ) t9<cJ=
a[]=*(AZI
Dr$k6kZ}'U
科目名称：概率论基础 第1页 共4页 f{FW7T}O2
5. 设随机变量 X 的数学期望是 ， 标准差是 ， 则 的概率至少为 Uc>k CBCd
)9 5&-Hs
二. 选择题（25分）: Oj\lg2Ck
m{x[q
1. 设两个事件A与B相互独立，且只有A发生的概率为 ，只有B发生的概率为 ，则 . Bab`wfUve
(a) ; (b) ; (c) ; (d) . _,"T; i
B /:q
2. 任何一个连续型随机变量 X 的密度函数 一定满足 CO%7^}xSE,
(a) & V^ Z
(b) 在定义域内单调不减; x5YW6R.<t
(c) )."_i64
(d) P {i \x#
!qS~YA
3. 设随机变量 服从正态分布 , 随机变量 服从正态分布 . 则 Q&@Ls ?pu
~m8" .Z"
(a) 大于; (b) 等于; (c) 小于; (d) 随 不同而不确定。 6X~.J4
x2 =Bu#Y
4. 设 是一随机变量, ( 是常数)， 则对任意的常数 c，必有 成立。 _t|| v
(a) ; ,Md8A`7x~
(b) ; 1PpZ*Y K3z
(c) ; U
>w#`Sy[
(d) 3_|<CE6
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科目名称：概率论基础 第2页 共4页 |tIr?nXSW3
5. 设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率分布为 5.
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b c=,$
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#%N v\ g;
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kH~ z07:
u^|c_5J (
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+ Ac.@!X}%
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5 {Q5?M]
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"@^Pb$BLY
'
L?e)u.
\c}_ !.xj"
则协方差 zU 7co.G
(a) ; (b) ; (c) ; (d) 0. 9$[6\jMh
Ln:6@Ok)5%
]QKo>7 % [
三.（20分）为了了解高校考试作弊的情况，今在某高校进行调查。考虑到被调查者一般不愿意真实地回答是否作过弊这一问题，特采用如下方案：准备两个问题，一个是“考试是否作过弊”，另一个是“是否是男生”。对每一个被调查者，掷一个均匀骰子，如出现 1，2，3，4，则回答第一个问题；如出现 5，6，则回答第二个问题。假定学生中考试作过弊的人的比例是 ，男生所占比例是 ，且设回答都是真实的。试求 -Zq \x'
(1) 一个学生回答“是”的概率； B@cC'F
#G
(2) 如果一个学生回答“是”，则其回答的是第一个问题的可能性有多大？ V=^B7a.;>
/]j^a:#"6t
四.（25分）设二维随机变量 （X, Y）的联合密度函数为 QN47+)cVt"
&O
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Zt_~Zxn3
(1) 求常数A; &!P' M
(2) 求X和Y的边缘密度函数; H9;0$Y(e-
(3) 问X与Y相互独立吗？ [|".j#ZlK
L0l'4RRm\
五.（20分）假设随机变量 相互独立，均服从正态分布 . 又记 Zd
5Jz+f
, .
UQZl :DYa
试求解下列问题： 5{/uHscwLa
CbGfVdw/c
(1) 求常数 c，使得 cY 服从 分布； [)+wke9
(2) 问 Z 服从什么分布，为什么？ ?f}?I`S,
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科目名称：概率论基础 第3页 共4页 |`ya+/ff+
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六. （20分）在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年支付1000元保险费。假设在一年内一个人死亡的概率是0.006，且一个人是否死亡与他人没有关系。死亡时其家属可从该保险公司领得保险金10万元。另，公司一年总的开支为100万元。问 ac rR
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(1) 保险公司亏本的概率有多大？ zmU@ k
(2) 一年利润不少于200万元的概率是多少？ ">._&8KkE0
X+1Mv
( 其中 表示标准正态分布函数) /#WvC;
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七. （15分）设随机变量 中任意两个的相关系数都是 ，试证 l`uI K.
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科目名称：概率论基础 第4页 共4页
