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中国科学技术大学 UiF ? Nx~
2016年秋季博士资格考试试卷 ZuILDevMD
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代数学 LW0't}
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1.1.(40分) 考虑形式幂级数环 C[[x]]={a0+a1x+a2x2+⋯∣ai∈C}C[[x]]={a0+a1x+a2x2+⋯∣ai∈C} 考虑 22 阶全矩阵环 R=M2(C[[x]])R=M2(C[[x]])． O B l-6W
(1) 证明 C[[x]]C[[x]] 为 Noether 整环； B,, f$h!
(2) 描述 C[[x]]C[[x]] 全部的有限生成不可分解模，并给出论证； Y }Rx`%X
(3) 给出环 RR 全部的双边理想，并给出论证； Ah) _mxK
(4) 描述 RR 上全部的有限生成不可分解左模，以及这些模的自同态环． 3($%A GKJ
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2.2.(40分) 将 Abel 群与 ZZ-模等同起来，考虑 Abel 群 G=Z3⊕ZG=Z3⊕Z． C] \r~f
(1) 列出群 GG 的全部子群，并给出论证； Cd dw\|'3
(2) 将 GG 的每个商群都分解成不可分解群的直和，并给出论证； wp$C J09f*
(3) 列出群 GG 的全部直和项，并给出论证； $kvF]|<bu
(4) 描述 GG 的自同构群． ld$LG6[PA
回顾：Abel 群 GG 的子群 AA 称为直和项，若存在另一子群 BB 满足 G=A+BG=A+B 以及 A∩B={0}A∩B={0}． a]BnHLx
n3jA[p:
3.3.(20分) 具体给出代数同构 v-2 .OS<o
CS3−→～C×C×M2(C)， =-1d m+P
CS3→～C×C×M2(C)， ]aXCi"fMs
其中 CS3CS3 为 S3S3 的群代数；并给出相应的论证． W2qW`Ujo{
提示：利用不可约复表示． 3[pA:Z+xx
