弹性力学2005 期末考试复习资料 Vi o ~2 一、简答题 8dY Pn+` 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ Q 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数 σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 ~L7@,d : 
mf\eg`'4? 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 Kfl#78$d 
'g7eN@Wh.z 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 d9kN @W 
32KL~32Y 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。 :\<D q 71 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 |A 0)-sVZ 混合边界问题。 "-HmXw1+t 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 P/hV{@x 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 X:1&Pd
i 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 ]1k"'XG4, 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 4>I >y@^ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：sx、sy、sz 、txy、tyz、、tzx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 ?cRGdLP'D 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。 -fILX u 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： /suW{8A(E （1）假定物体是连续的。 ]:X# w0UR （2）假定物体是完全弹性的。 ^ }PG*h| （3）假定物体是均匀的。 yy*8Aw} （4）假定物体是各向同性的。 !i{9wI （5）假定位移和变形是微小的。 t5"g 9`A L 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 {#o0vW S> P5 6B~M _ 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 2b i:Q9 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 Vw>AD<Rl 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 "7X[@xX@ 支墩就属于此类。 xxS>O% 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 2 f8\Osn>m 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 (.Th?p%> 7 用都不沿长度而变化。 XGCjB{IV 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ yPXa 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 N R0"yJV
> 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 mY 1Gm| 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 #q
mv(VB4 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 ;rqW?':(i 7．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明 `$oy4lDKQ 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题可分为两类边界问题： # X`t~Y' （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 
三个应力分量。 -2/&i （2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力也平行于横截面且不沿长度变化。这一类问题可以简化为平面应变问题。例如挡土墙和重力坝的受力分析。该种问题 
\Aq$h:< 8．什么是圣维南原理？其在弹性力学的问题求解中有什么实际意义？ aT_%G&. 圣维南原理可表述为： q*'-G]tH= 如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那麽近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计． ;Zt N9l 弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将面力分布不明确的情况转化为静力等效但分布表达明确的情况而将问题解决。还可解决边界条件不完全满足的问题的求解。 ! +V."*]l 9．什么是平面应力问题？其受力特点如何，试举例予以说明。 [fZhfZ)< 答：平面应力问题 是指很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 三个应力分量。 #6F|}E 10．什么是“差分法”？试写出基本差分公式。 -SlAt$I J 答；所谓差分法，是把基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。基本差分公式如下： dIq*"Ry+~ 
G vTA/zA wvcj
*{7[ 二、计算题 pJo#7rxd6 1．已知过P点的应力分量 
。求过P点， 
斜面上的 
。 #DA , * 解： 
7:'5q]9 2．在物体内的任一点取一六面体，x、y、z方向的尺寸分别为dx、dy、dz。试依据下图证明： 
。 
Ie7S'.Lmq u$rSM0CJ 证明： ZYLPk<< 
UXPF"}S2 
r*kz` cJ 化简并整理上式，得： 95.s, '0 
Wiqk C#N ZfU &X{ 3．图示三角形截面水坝，材料的比重为 r，承受比重为 g 液体的压力，已求得应力解为 
，试写出直边及斜边上的边界条件 。 ,Yu2K` 
!N74 y %=M 解：由边界条件 $VJE
&b 
xA>3]<O 左边界： 
nn8uFISb 
右边界： 
p?#xd!tc2N 
$AF,4Ir-b+ 4．已知一点处的应力分量 
，试求主应力 
以及 
与x轴的夹角。 解：
5．在物体内的任一点取一六面体，x、y、z方向的尺寸分别为dx、dy、dz。试依据下图证明： 
。 
I#- T/1N 证明： > a)6GZ@ 
*fp4u_:` 
化简并整理上式： |k<5yj4? 
Dcs
Q 6 6． 图示悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为r，设应力函数 
恒能满足双调和方程。试求应力分量并写出边界条件。 LDbo=w 
_Kv;hR> ar:qCq$\ e^h4cC\^ 解： D'
`[y 所设应力函数。 r1zuc:W 1 相应的应力分量为： Bw4PxJs- 
=2Cx+6Dy fH 0&Wc3yC 
Za'}26 
r(Y@; 边界条件为： X`0`A2
n 上表面（y=0），要求 9m}c2:p XN=（ 
， B= 0 q&V=A[<rz 
， A = 0 p}
i5z_tS 斜边界： 
边界条件得： j6&7tK, 
g({dD ; 
f/]g@/` 一、名词解释（共10分，每小题5分） "kkZK=}Nv 1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 uD
G#L6 2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 nX-%qc" 一． 填空（共20分，每空1分）
qh 9Ix 1. 边界条件表示在边界上 位移 与 约束 ，或 应力 与 面力 之间的关系式，它可以分为 位移 边界条件、 应力 边界条件和 混合 边界条件。 k?ksv+e\ 2. 体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为 L-2MT-2 ；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为 L-1MT-2 ；体力和面力符号的规定为以 沿坐标轴正向 为正，属 外 力；应力是作用于截面单位面积的力，属 内 力，应力的量纲为 L-1MT-2 ，应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。 Pt8 U0)i) 3. 小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 孔附近的应力高度集中 ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 应力集中的局部性 ，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。 X
5wYfN 4. 弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。 Auf2JH~ 5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含 结构离散化 、 单元分析 、 整体分析 三个主要步骤。 NR
Z>03w #ZPy&GIr 二． 绘图题（共10分，每小题5分） K;#9:
Z^+ 分别绘出图3-1六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2极坐标下扇面正的应力分量。 f
iu?mb=* 图3-1
图3-2
psZ #^@>mJ 三． 简答题（24分） )gP0+W!u 1. （8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 7cMSJM( ]G 答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分） d}RR!i`<N 1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 J\x.:=V 2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 1b -_![&]1 3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 ::A ]p@ 4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。 p@+r&Mg%W" 5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。 `t~Zkb4> 2. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？ >g FEA0- 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：
u RfFPOYH 平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量 
, 
, 
存在，且仅为x,y的函数。 1O,<JrE+- 平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量 
, 
, 
存在，且仅为x,y的函数。 =v
ZF/r 3. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数 
求解，应力函数 必须满足哪些条件？ D!d1%h ac 答：（1）相容方程： 
.y~vn[q N （2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件， 
）： 
8Cw+<A* （3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 3/q) %Z^= 四． 问答题(36) 5g(`U+ ,*( 1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚 
） t}]R0O .s 图5-1
解：在主要边界 
上，应精确满足下列边界条件： ^*=.Vuqy 
， 
； 
， 
%}=:gF 在次要边界 
上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚 时， ')m R87 
， 
， 
- .EH?{i 在次要边界 
上，有位移边界条件： 
， 
。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替： J@vL,C)E6 
， 
， 
b,Vg3BS 2. （10分）试考察应力函数 
， 
，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。 NP#:} ) 图5-2
解：（1）相容条件：将 
代入相容方程 
，显然满足。 ;mAlF>6]\ （2）应力分量表达式： 
， 
， 
=
olmBXn/ （3）边界条件：在主要边界 
上，即上下边，面力为 
， 
\6)]!$F6: 在次要边界 
上，面力的主失和主矩为 ,'f^K!iA 
,p\ :Z3{ZH 弹性体边界上的面力分布及在次要边界 上面力的主失量和主矩如解图所示。 V|n}v?f_q 3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为 
，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 
） Oe["4C [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image191.jpg[/img]
图 5-3
解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image189.png[/img] ，
(1) 假设应力分量的函数形式。 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image189.png[/img]
(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image193.png[/img] 。将 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image189.png[/img] 代入应力公式 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image195.png[/img] 有 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image197.png[/img] 对 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image199.png[/img] 积分，得 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image201.png[/img] ， （a）
[img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image203.png[/img] 。 （b）
其中 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image205.png[/img] ， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image207.png[/img] 都是 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image199.png[/img] 的待定函数。
(3)由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image209.png[/img] ，得
[img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image211.png[/img]
这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y值都应该满足），可见它的系数和自由项都必须等于零。 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image213.png[/img] ， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image215.png[/img] ，两个方程要求
[img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image217.png[/img] ， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image219.png[/img] (c)
[img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image221.png[/img] 中的常数项， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image207.png[/img] 中的一次和常数项已被略去，因为这三项在 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image117.png[/img] 的表达式中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数
[img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image225.png[/img] (d)
（4）由应力函数求应力分量。
[img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image227.png[/img] ， (e)
[img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image229.png[/img] ， (f)
[img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image231.png[/img] . (g)
(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数 +338z<'Z! 先来考虑左右两边 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image233.png[/img] 的主要边界条件：
e#t7 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image235.png[/img] ， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image237.png[/img] ， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image239.png[/img] 。 CVy\']
将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求： %Y:"5fH [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image241.png[/img] ，自然满足； [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image243.png[/img] (h) 7H l>UX,| [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image245.png[/img] (i)
由（h）（i） 得 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image247.png[/img] （j） N a $eeM 考察次要边界 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image249.png[/img] 的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为 wJ%;\0 6 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image251.png[/img] ； 得 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image253.png[/img] fR$_=WWN>h [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image255.png[/img] ， 得 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image257.png[/img]
MOi a] 5 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image259.png[/img] （k） LN0pC }F 由（h）（j）（k）得 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image261.png[/img] , [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image263.png[/img] Rl/5eE8 将所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得应力分量为： 2t,N9@u=UN [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image265.png[/img] ， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image267.png[/img] ， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image269.png[/img] }nUq=@ej 弹性力学试卷A
一、填空题（每空2分，共计30分） rLpfybu 1. 弹性力学平面问题分为_____________________和_______________________。 YLsOA`
5X 2. 平面问题的几何协调方程为______________________________________________。 ~~\C
.6c# 3. 将平面应力问题下物理方程中的E， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image271.png[/img] 分别换成___________________、____________________就可得到平面应变问题中的物理方程。 \5iM r[s 4. E和G的关系可用式_____________________表示。 ,`
64t'g 5. [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image273.png[/img] 中两个下标的含义为_____________________ 、_____________________ 。 Fc6o6GyL|o 6. 弹性力学问题中有5个基本假设，分别是_____________________、_____________________、_____________________、_____________________、_____________________。 ,6EhtNDu 7. 弹性力学中有两类外荷载，分别是_____________________、_____________________。 ('k9X cTPP 二、简答题（40分） 4=~+B z 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？（15分） tiGBjTPt 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。（9分） kz\ Ss|jl 3．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？这两种问题各有哪些非零应力量。两种问题各举一个工程中的实例。（8分） r@a]fTf 4
．什么是圣维南原理？其在弹性力学的问题求解中有什么实际意义？（8
分） TtQ'I}7q 三、解答题（30
分） g&*,j+$ } 1.
已知物体内一点的6
个应力分量为 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image275.png[/img] =4MPa
， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image277.png[/img] =2MPa
， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image279.png[/img] =4MPa
， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image273.png[/img] =8MPa
， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image282.png[/img] =4MPa
， [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image284.png[/img] =0MPa
，试求法线方向余弦为l=1/2
，m=1/2, n=1/ [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image286.png[/img]
的微分面上的应力：总应力 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image288.png[/img]
，正应力 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image290.png[/img]
，切应力 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image292.png[/img]
。(15
分)
jQrj3*V 2.
如图，三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image187.png[/img]
，试用纯三次式的应力函数求解应力分量。（15
分） 6Hp+?mmh [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image295.jpg[/img]
ZXIw^!8@/ X- ZZLl# 答案
一、 M u i\E 1.
平面应力问题，平面应变问题 3_ly"\I\ 2. [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image297.png[/img]
4_`(c1oA 3. E/ (1- [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image299.png[/img] ) , [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image271.png[/img] / (1- [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image271.png[/img] )
>qz#& 4. G=E / 2(1+ [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image271.png[/img] )
U`aB&[=$ 5.
应力作用在法向平行于x
轴的平面 应力方向平行于y
轴 \%|Xf[AX 6.
连续性、均匀性、完全弹性、各向同性、小变形 ]|-sZ<?<i 7.
体力 面力 0NeIQr1N_ 二、
l*?_ @ 1.
9=mc3m:Tb( 答：(1)平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image304.png[/img] 、 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image306.png[/img] 、 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image308.png[/img] 、 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image310.png[/img] ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 rz0)S
py6 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image311.png[/img]
?<`oKBn (2)平面问题的几何方程:揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 pM^Z C [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image312.png[/img]
v \[+ (3)平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 Mj{w/ '
[img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.png[/img]
Sx[
eX,q 2.
答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。 <.mH-Y5i （1）位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 R_O=WmD （2）应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 f S[-K?K （3）混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 |r*)U( c` 3.
答：（1）平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。非零应力量有sx、sy、、txy 。如板式吊钩、旋转圆盘、工字梁的腹板等。 d[>HxPwo （2）平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作用都不沿长度而变化。非零应力量有sx、sy、、sz 、txy 。 如煤矿巷道的变形与破坏分析、挡土墙、重力坝等。 Zwm/ c]6` 4.
答：（1
）圣维南原理可表述为：如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。 >.6|\{*sG （2
）弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将面力分布不明确的情况转化为静力等效但分布表达明确的情况而将问题解决。还可解决边界条件不完全满足的问题的求解。 _1NK9dp: PcBD;[cn 三． :\vs kk), 1.
解：应力矩阵为 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image314.png[/img] = [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image316.png[/img]
@)BO`;*$fF (1)
方向余弦为 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image318.png[/img]
的微分斜面上沿i
坐标轴方向的应力为 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image320.png[/img]
^nK<t?KS 则 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image322.png[/img] =4*1/2+8*1/2+4*1/ [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image286.png[/img] =6+2 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image286.png[/img]
<sw@P":F [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image326.png[/img] =8*1/2+2*1/2+0=5
PJcfiRa'jQ [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image328.png[/img] =4*1/2+0+4*1/ [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image286.png[/img] =2+2 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image286.png[/img]
=#/Kg_RKL [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image330.png[/img] = [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image332.png[/img] =11.2363
+Q[uq!<VJk (2) [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image334.png[/img]
1_<x%>zG = [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image336.png[/img] + [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image338.png[/img] + [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image340.png[/img]
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(I)u = [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image342.png[/img] + [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image344.png[/img] + [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image346.png[/img] +2 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image348.png[/img] +2 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image350.png[/img] +2 [img]file:///C:/Users/yyds/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image352.png[/img]
IH;sVT $M =4*1/4+2*1/4+4*1/2+2*8*1/4+2*4*1/2*(1/sqrt(2))
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bDM },( *^uK=CH1?( 4 kjfYf@A
1、平面应力问题的基本特征：（1）等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化面力或约束。（2）此时σz=0，τzx=0， τzy=0。（3）σx，σy，τxy 都是x，y的函数，不随z而变化。 BYB4- , 平面应变问题的基本特征：（1）等截面长柱形体，只在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束。（2）此时εz=0，γzx=0，γzy=0。（3）εx，εy，γxy都是x，y的函数，不随z而变化。（4）σz一般并不等于零
8u2k-_9 2、在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？ kU[hB1D5 答：在导出平衡微分方程时，应用了连续性假定和小变形假定 1o`1W4
Q 在导出几何方程时，应用了连续性假定和小变形假定 lN#j%0MaUo 在导出物理方程时，应用了连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定、小变形假定。 o{G*7V@H 3、试比较弹性力学和材料力学中应力正方向规定的异同。 Lw}-oE
!U 答：弹性力学中正应力的正方向：在正面上以坐标轴的正向为正方向，在负面上以坐标轴的负方向为正方向；弹性力学中的切应力也是一样的，在正面上以坐标轴的正向为正方向，在负面上以坐标轴的负方向为正方向。 |n/;x$Cb 材料力学中，正应力的正方向规定以拉为正，以压为负；切应力以绕截面顺时针转动为正。 [ ,;e ,ld 4、按应力求解平面问题时，应力分量σx，σy，τxy 取为基本未知函数。其他未知函数中形变分量可以简单的用应力分量表示，即物理方程。为了用应力分量表示位移分量，须将物理方程代入几何方程，然后通过积分等运算求出位移分量。因此，用应力分量表示位移分量的表达式较为复杂，且其中包含了待定的积分项。从而使位移边界条件用应力分量表示的式子十分复杂，且很难求解。所以在按应力求解函数解答时，通常只求解全部为应力边界条件的问题。 `q c"JB 5、在体力为常量的情况下，平衡微分方程、相容方程和应力边界条件中都不包含弹性系数，从而对于两种平面问题都是相同的。因此，当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，就不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管他们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量σx，σy，τxy的分布是相同的。 %):_
6、在常体力的情况下，弹性力学平面问题中存在着一个应力函数φ。按应力求解平面问题，可以归纳为求解一个应力函数φ，它必须满足：在区域内的相容方程，在边界上的应力边界条件；在多连体中，还须满足位移单值条件。 C < c6Ub 7、当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为求解一个应力函数φ（ρ，Ψ），它必须满足：（1）在区域内的相容方程；（2）在边界上的应力边界条件；（3）如为多连体，还有多连体中的位移单值条件。 w$:\!FImx 8、如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面就成为一个正面，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面就成为一个负面，这个面上的应力就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。（材料力学中正应力的正方向规定以拉为正，以压为负；切应力以绕截面顺时针转动为正） v>]g="5}8 9、弹性力学的基本假定：（1）连续性：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙；（2）完全弹性：所谓完全弹性，指的是物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变；（3）均匀性：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的；（4）各向同性：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都是相同的；（5）小变形假定。假定位移和形变是微小的。 [)Nt;|U 10、根据平衡条件来导出应力分量与体力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。导出微分线段上的形变分量与位移分量之间的关系式，也就是平面问题中的几何方程。导出形变分量与应力分量之间的关系式，也就是平面问题中的物理方程。 A |\A|8=b 平面问题中的平衡微分方程指的是平面问题中应力分量与体力分量之间的关系式。 w7Yu} JY^ 11、在平面问题中为了完全确定位移，为什么必须有3个适当的刚体约束条件？ ]q1w@)]n} 答：物体在形变为零时可以有刚体位移，因此，当物体发生一定得形变时，由于约束条件的不同，它可能具有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完全确定的。 0]4X/u#N 在平面问题中，常数u0，v0，w的任意性反映了位移的不确定性，而为了完全确定位移，就必须由三个适当的刚体约束条件来确定这三个常数。 ^2~ZOP $A
